Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于點D，過點C作CE⊥AD于E，CE的延長線交AB于點F，過點E作EG∥BC交AB于點G，AE•AD=16，AB=4，
（1）求證：CE=EF；
（2）求EG長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據AD平分∠CAB交BC于點D，CE⊥AD證明△ACE和△AFE全等，根據全等三角形對應邊相等，CE=EF，
（2）因為∠CAD是公共角，∠ACB=∠AEC=90°，所以△ACE和△ADC相似，根據相似三角形對應邊成比例，列出比例式整理即可得到AC²=AE•AD，代入數據計算即可求出AC的長，再根據勾股定理求出BC的長度為8，最后根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半EG=BC．
解答：（1）證明：∵AD平分∠CAB交BC于點D，
∴∠CAE=∠FAE，
∵CE⊥AD，
∴∠AEC=∠AEF=90°，
在△ACE和△AFE中，
，
∴△ACE≌△AFE（ASA），
∴CE=EF；

（2）解：∵CE⊥AD，
∴∠AEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠AEC=∠ACB，
又∵∠CAE=∠CAE，
∴△ACE∽△ADC，
∴，
即AC²=AE•AD，
∵AE•AD=16，
∴AC²=16，
∴AC=4，
∴△ABC中，BC==8，
∵EG∥BC，
∴EG=×8=4．
點評：本題主要考查兩角對應相等，兩三角形相似，相似三角形對應邊成比例，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質，熟練掌握性質并靈活運用是解題的關鍵，難度適中．