Question

如圖在平面直角坐標系中，將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標軸上，直角頂點C的坐標為（-1，0），點A坐標為（0，-2），點B在拋物線y=ax²+ax-2上．
（1）點B的坐標為

（-3，1）

；拋物線的解析式為

y=

1

2

x²+

1

2

x-2

（2）設（1）中拋物線的頂點為D，求△DBC的面積；
（3）將三角板ABC繞頂點A逆時針方向旋轉90°，到達△AB′C′的位置．請判斷點B′、C′是否在（2）中的拋物線上，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）先在直角三角形OAC中，根據AC=

5

，OC=1來求出OA的長，過B作x軸的垂線，假設垂足為F，那么△ACO≌△CBH，OA=CF，BF=OC，由此可求出B的坐標；將已經求出的B的坐標代入拋物線的解析式中即可求出拋物線的解析式；
（2）根據（2）的函數關系式即可求出D點的坐標．求△DBC的面積時，可將△DBC分成△CBE和△DCE兩部分（假設BD交x軸于E）．可先根據B，D的坐標求出BD所在直線的解析式，進而求出E點的坐標，那么可求出CE的長，然后以B，D兩點的縱坐標的絕對值分別作為△BCE和△DCE的高，即可求出△DBC的面積；
（3）本題的關鍵是求出B′，C′兩點的坐標．過點B′作B′M⊥y軸于點M，過點B作BN⊥y軸于點N，過點C″作C″P⊥y軸于點P．然后仿照（1）中求坐標時的方法，通過證Rt△AB′M≌Rt△BAN來得出B′的坐標．同理可得出C′的坐標．然后將兩點的坐標分別代入拋物線的解析式中，進而可判斷出兩點是否在拋物線上．

解答：解：（1）∵AC=

5

，CO=1，
∴AO=

5-1

=2，
如圖1，作BF⊥OC，
∵∠AOC=∠BFC，∠CAO=∠BCF，
∴∠ACO=∠CBF，
在△BFC與△COA中，
∵

∠CAO=∠BCF AC=BC ∠ACO=∠CBF

∴△BFC≌△COA，
∴CF=AO=2，
∴B（-3，1）
將B（-3，1）代入y=ax²+ax-2得：
1=9a-3a-2，
∴a=

1

2

，
∴y=

1

2

x²+

1

2

x-2；
故答案為：（-3，1），y=

1

2

x²+

1

2

x-2；

（2）∵拋物線的解析式為：y=

1

2

x²+

1

2

x-2，
∴其頂點坐標D（-

1

2

，-

17

8

），
設直線BD的解析式為：y=kx+b（k≠0）
∴

- 1 2 k+b=- 17 8 -3k+b=1

，解得

k=- 5 4 b=- 11 4

，
∴BD的關系式為y=-

5

4

x-

11

4

．
∵直線BD和x軸交點為E，
∴點E（-

11

5

，0），CE=

6

5

，
∴S_△DBC=S_CBE+S_CED=

1

2

×

6

5

×1+

1

2

×

6

5

×

17

8

=

1

2

×

6

5

×（1+

17

8

）=

15

8

；

（3）如圖2，過點B′作B′M⊥y軸于點M，過點B作BN⊥y軸于點N，
過點C″作C″P⊥y軸于點P，
在Rt△AB′M與Rt△BAN中，
∵∠AMB'=∠ANB=90°，∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM，
∴∠ABN=∠B′AM，
在Rt△AB′M與Rt△BAN．
∵

∠AB′M=∠BAN AB=AB′ ∠ABN=∠B′AM

，
∴Rt△AB′M≌Rt△BAN．
∴B′M=AN=1，AM=BN=3，
∴B′（1，-1）．
同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，可得點C′（2，1）；
將點B′、C′的坐標代入y=x²+x-2，可知點B′、C′在拋物線上．

點評：本題考查的是二次函數綜合題，重點考查的是待定系數法求二次函數解析式、三角形全等、圖形旋轉變換等重要知識點；綜合性強，考查學生數形結合的數學思想方法．