Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4．一動點P從點B出發，沿BC方向以每秒1個單位長度的速度勻速運動，到達點C即停止，在整個運動過程中，過點P作PD⊥BC與Rt△ABC的直角邊相交于點D，延長PD至點Q，使得PD＝QD，以PQ為斜邊在PQ左側作等腰直角三角形PQE．設運動時間為t秒（t＞0）

（1）在整個運動過程中，判斷PE與AB的位置關系是

（2）如圖2，當點D在線段AB上時，連接AQ、AP，是否存在這樣的b，使得AP＝PQ？若存在，求出對應的t的值；若不存在，請說明理由；

（3）當t＝4時，點D經過點A：當t＝時，點E在邊AB上．設△ABC與△PQE重疊部分的面積為S，請求出在整個運動過程中S與t之間的函數關系式，以及寫出相應的自變量t的取值范圍，并求出當4＜t≤時S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）PE與AB互相垂直，理由詳見解析；（2）t的值為；（3）詳見解析.

【解析】

（1）結論：PE與AB互相垂直．理由等腰直角三角形的性質即可證明．

（2）如圖2中，過點A作AH⊥BC于點H．根據AP＝PQ，構建方程即可解決問題．

（3）分三種情形：①如圖3﹣1中，當0＜t≤4時．△ABC與△PQE的重疊部分為△PFD．②如圖3﹣2中，當4＜t≤時，△ABC與△PQE的重疊部分為四邊形PDAF．③如圖3﹣3中，當＜t≤8時，△ABC與△PQE的重疊部分為四邊形FEPD．分別求解即可．

解：（1）結論：PE與AB互相垂直．

理由：如圖1中，設PE交AB于K．

∵△ABC，△PQE都是等腰直角三角形，

∴∠B＝∠EPQ＝45°，

∵PQ⊥BC，

∴∠BPQ＝90°，

∴∠EPB＝90°，

∴∠B+∠EPB＝90°，

∴∠PKB＝90°，

∴PE⊥AB．

（2）如圖2中，過點A作AH⊥BC于點H．

∵Rt△ABC中，AB＝AC＝4

∴BC＝＝8，

∴AH＝BH＝CH＝4，

依題意得BP＝t．PH＝BH﹣BP＝4﹣t，

∴PA＝＝，

∵PD⊥BC，∠B＝45°，

∴PD＝BP＝t，PQ＝2PD＝2t，

∵PQ＝AP，

∴2t＝，

解得：t＝或（舍棄），

∴t的值為．

（3）如圖3﹣1中，△ABC與△PQE的重疊部分為△PFD．

由題意可得△PFD、△BPD為等腰直角三角形，

∴BP＝PD＝t，

∴PF＝DF＝PDcos45°＝t，

∴S＝PFDF＝（0＜t≤4）．

如圖3﹣2中，△ABC與△PQE的重疊部分為四邊形PDAF．

由題意可得△PFB、△PDC為等腰直角三角形，

∵BP＝t，PC＝BC﹣PB＝8﹣t，

∴BF＝PF＝t，DP＝PC＝8﹣t，

∴S＝S△ABC﹣S△PFB﹣S△PDC

＝×4×4﹣×t×t﹣（8﹣t）（8﹣t）

＝﹣t2+8t﹣16（4＜t≤）

＝﹣（t﹣）2+

∵﹣＜0，

∴當x＝時，S有最大值．

如圖3﹣3中，△ABC與△PQE的重疊部分為四邊形FEPD．

∵CP＝PD＝8﹣t，

∴QD＝PD＝8﹣t，PQ＝16﹣2t，

由題意可得△QDF為等腰直角三角形

∴QF＝（8﹣t），QE＝（16﹣2t），

∴S＝S△PQE﹣S△QDF

＝×（16﹣2t）（16﹣2t）﹣×（8﹣t）×（8﹣t）

＝﹣12t+48（＜t≤8）．