Question

在平面直角坐標系xOy中，已知A（-2，0），B（3，0），C（5，6），過點C作x軸的平行線交y軸于點D．
（1）若直線y=kx+b過B、C兩點，求k、b的值．
（2）如圖，P是線段BC上的點，PA交y軸于點Q，若點P的橫坐標為4，求S_PCDQ；
（3）設點E在線段DC上，AE交y軸于點F，若∠CEB=∠AFB，求cos∠BAE的值．

Answer 1

分析：（1）因為直線y=kx+b過B、C兩點，所以利用待定系數法即可求出函數的解析式；
（2）因為點P的橫坐標為4，所以可求出P（4，3）．
利用待定系數法求出AP的解析式，再求它與y軸的交點Q（0，1）．
所以S_PCDQ=梯形OBCD的面積-（三角形APB的面積-三角形AQO的面積）=（5+3）×6÷2-（3+2）×3÷2+2×1÷2=17.5；
（3）可設OF=a，△ABE的高為NE，因為△ABF與△ABE的底同是AB，且高分別為OF，NE，所以

SABF

SABE

=

OF

NE

，又因∠CEB=∠ABE=∠AFB，所以可求△ABF∽△AEB，S_△ABF：S_△AEB=AF²：AB²，進而有AF²=

OF

NE

•AB²=

25

6

a．
Rt△AOF中，由勾股定理，得AF²=AO²+OF²=4+a²，可解得a的值，進而求出AF的值，解決問題．

解答：解：（1）因為直線y=kx+b過B、C兩點，
所以

0=3k+b 6=5k+b

，
解得

k=3 b=-9

．

（2）因為y=3x-9，令x=4，則y=3．即P（4，3）．
設AP：y=kx+b，則

0=-2k+b 3=4k+b

，即

k= 1 2 b=1

．
所以AP的解析式為y=

1

2

x+1，它與y軸的交點Q（0，1）．
所以S_PCDQ=梯形OBCD的面積-（三角形APB的面積-三角形AQO的面積）=（5+3）×6÷2-（3+2）×3÷2+2×1÷2=17.5；

（3）設OF=a，△ABE的高為NE．
∵△ABF與△ABE的底同是AB，且高分別為OF，NE，
∴

SABF

SABE

=

OF

NE

，
∵∠A=∠A，∠CEB=∠ABE=∠AFB，
∴△ABF∽△AEB，
∴S_△ABF：S_△AEB=AF²：AB²，
∴（

AF

AB

）²=

OF

NE

，
∴AF²=

OF

NE

•AB²=

25

6

a．
在Rt△AOF中，由勾股定理，得
AF²=AO²+OF²=4+a²，
∴4+a²=

25

6

a，6a²-25a+24=0，
解得a₁=

8

3

，a₂=

3

2

．
當a=

8

3

時，AN=12÷

8

3

=4.5．則DE=ON=4.5-2=2.5，此時點E在DC上；
當a=

3

2

時，AN=12÷

3

2

=8．則DE=ON=8-2=6＞5，此時點E不在DC上，故舍去．
∴當a=

8

3

時，AF=

10

3

，
故cos∠BAE=

3

5

．

點評：本題需仔細分析題意，利用待定系數法和相似三角形的性質即可解決問題．