Question

設拋物線C₁：y=a₁x²+b₁x+c₁的頂點為（m₁，n₁），拋物線C₂：y=a₂x²+b₂x+c₂的頂點為（m₂，n₂），如果a₁+a₂=0，那么我們稱拋物線C₁與C₂關于點（，）中心對稱．給出拋物線①y=x²+4x+3，拋物線②y=-x²+4x+1．
（1）判斷拋物線①與拋物線②是否中心對稱？若是，求出對稱中心的坐標；若不是，說明理由；
（2）直線y=m交拋物線①于A、B兩點，交拋物線②于C、D兩點，如果AB=2CD，求m的值；
（3）設拋物線①與拋物線②的頂點分別為M、N，點P在x軸上移動，若△MNP為直角三角形，求點P坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據二次函數解析式a₁+a₂=0，求出兩函數的關系，結合頂點坐標得出對稱中心；
（2）利用根與系數的關系以及兩點之間的距離得出m的值即可；
（3）利用勾股定理以及三角形相似分別得出符合要求的所有點的坐標．
解答：解：（1）拋物線①y=x²+4x+3的a₁=1，拋物線②y=-x²+4x+1的a₂=-1．
∵a₁+a₂=0，
∴拋物線①與拋物線②是中心對稱，拋物線①y=x²+4x+3的頂點坐標（-2，-1），
拋物線②y=-x²+4x+1的頂點坐標（2，5），
∴對稱中心的坐標（，），
即：（0，2）；

（2）點A、B的橫坐標是方程x²+4x+3=m的兩根，
∴x_A+x_B=-4，x_A•x_B=3-m，
∴AB=|x_A-x_B|==，
同理CD=，
∵AB=2CD，
解得：m=；

（3）設點P（n，0）．由（1）得M（-2，-1），N（2，5），
作ME⊥x軸于E，作NF⊥x軸于F，PN²=NF²+PF²=25+（n-2）²，
同理PM²=ME²+PE²=1+（n+2）²，MN²=4²+6²=52．
①若∠MNP=90°，PM²=MN²+PN²，解得n=；
②若∠NMP=90°，PN²=MN²+PM²，解得n=-；
③若∠NPM=90°，PN²+PM²=MN²，解得n=±3（或由則△NPF∽△PME亦可求）．
綜上，點P坐標為：P₁（，0），P₂（-，0），P₃（3，0），P₄（-3，0）．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用，此題綜合性較強針對兩點之間距離以及三角形的相似得出是解決問題的關鍵．