Question

如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥CD于點(diǎn)F，連接EF給出下列五個(gè)結(jié)論：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=2EC．其中有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）

A．2個(gè)
B．3個(gè)
C．4個(gè)
D．5個(gè)

Answer 1

【答案】分析：可以證明△ANP≌△FPE，即可證得①④是正確的，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可判斷②正確；根據(jù)P的任意性可以判斷③⑤的正確性．
解答：解：延長(zhǎng)FP交AB于點(diǎn)N，延長(zhǎng)AP交EF于點(diǎn)M．
∵四邊形ABCD是正方形．
∴∠ABP=∠CBD
又∵NP⊥AB，PE⊥BC，
∴四邊形BNPE是正方形，∠ANP=∠EPF，
∴NP=EP，
∴AN=PF
在△ANP與△FPE中，
∵，
∴△ANP≌△FPE
∴AP=EF，∠PFE=∠BAP故①④正確；
△APN與△FPM中，∠APN=∠FPM，∠NAP=∠PFM
∴∠PMF=∠ANP=90°
∴AP⊥EF，故②正確；
P是BD上任意一點(diǎn)，因而△APD是等腰三角形和PD=2EC不一定成立，故③⑤錯(cuò)誤；
故正確的是：①②④．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，正確證明△ANP≌△FPE，以及理解P的任意性是解決本題的關(guān)鍵．