Question

如圖，C為線段AE上一動點（不與點A，E重合），在AE同側分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．以下五個結論：
①AD=BE；
②PQ∥AE；
③EQ=DP；
④∠AOB=60°；
⑤當C為AE中點時，S_△BPQ：S_△CDE=1：3．其中恒成立的結論有（ ）

A．①②④
B．①②③④
C．①②③⑤
D．①②④⑤

Answer 1

【答案】分析：根據等邊三角形性質得出AB=BC=AC，DC=CE=DE，∠BCA=∠DCE=∠EDC=∠DEC=60°，推出∠ACD=∠BCE，根據SAS證△ACD≌△BCE，即可推出①；根據ASA證△DPC≌△EQC，推出CP=CQ，證三角形CPQ是等邊三角形，即可推出②③；根據等邊三角形性質和平角定義即可判斷④求出P、Q分別是BC和BE中點，推出△BPQ的面積等于△BCE面積的，推出△BCE和△CDE的面積相等，即可判斷⑤．
解答：解：∵等邊△ABC和等邊△DCE，
∴BC=AC，DE=DC=CE，∠DEC=∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=∠DAC，AD=BE，∴①正確；
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等邊△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，∴④正確；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
在△DPC和△EQC中
，
∴△DPC≌△EQC，
∴EQ=DP，∴③正確；
CP=CQ，
∵∠BCD=60°，
∴△CPQ是等邊三角形，
∴∠PQC=60°=∠DCE，
∴PQ∥AE，∴②正確；
∵當C為AE中點時，
∵∠BCA=∠DEC=60°，
∴P是AD中點，
∴CP=DE=AB，
即P是BC中點，
同理Q是BE的中點，也是DC中點，
即PQ是△BCE的中位線，
∵PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BCE，
∴=，
∵當C為AE中點，等邊△ABC和等邊△DCE，
∴BD∥AE，
即△DCE的邊CE上的高和△BCE的邊CE上的高相等，
∴△DEC的面積等于△BCE的面積，
∴S_△BPQ：S_△CDE=1：4，∴⑤錯誤．
正確的有①②③④．
故選B．
點評：本題綜合考查了等邊三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，平行線的性質和判定，相似三角形的性質和判定等知識點的運用，主要考查學生運用這些定理進行推理的能力，本題綜合性比較強，有一定的難度，但題型比較好，有一定的代表性．