Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC形內一點，且∠APB=∠APC=135°．
（1）求證：△CPA∽△APB；
（2）試求tan∠PCB的值．

Answer 1

分析：（1）結合題意，易得∠BAC=45°，從而可得出∠PAC+∠PAB=45°，又在△APB中，∠APB=135°，以及∠APB=∠APC，即可得出△CPA∽△APB；
（2）由于△ABC是等腰直角三角形，即可得出CA和AB之間的關系，利用（1）的條件，

CP

PA

=

PA

PB

=

CA

AB

=

1

2

，在△BCP中，∠BPC=90°，易得出tan∠PCB的值．

解答：解：（1）∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠BAC=45°，即∠PAC+∠PAB=45°，
又在△APB中，∠APB=135°，
∴∠PBA+∠PAB=45°，
∴∠PAC=∠PBA，
又∠APB=∠APC，
∴△CPA∽△APB．

（2）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴

CA

AB

=

1

2

，
又∵△CPA∽△APB，
∴

CP

PA

=

PA

PB

=

CA

AB

=

1

2

，
令CP=k，則PA=

2

k，PB=2k，
又在△BCP中，∠BPC=360°-∠APC-∠APB=90°，
∴tan∠PCB=

PB

PC

=2．

點評：本題主要考查相似三角形的判定與性質的知識點，熟練三角形內角和定理，等腰三角形的判定與性質，三角形外角的性質，勾股定理等知識點，綜合性較強，有一定難度．