Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，對角線AC和BD交于點O，BC=8cm，BD=6cm，梯形的高為3cm．E是BC邊上的一個動點（點E不與B、C兩點重合），EF∥BD交AC于點F，EG∥AC交BD于點G．
（1）如圖①，在點E運動過程中，試猜測GE、EF的長度和有什么特點？說明你的理由．
（2）如圖②，在點E運動過程中，若點E到BD、AC的垂線段分別為EP、EQ，你能確定EP+EQ的值嗎？

Answer 1

分析：（1）根據等腰梯形的性質求出∠ABC=∠DCB，證△ABC≌△DCB，推出∠OBC=∠OCB，證GB=GE即可推出答案；
（2）過D作DH⊥BC于H，過C作CM⊥BD交BD的延長線與M，CN⊥PE于N，求出△BDC的高CM，證矩形NPMC，推出CM=PN=4，證∠OCB=∠BCN，推出EN=EQ，求出PN=PE+EQ即可．

解答：解：（1）GE、EF的長度和的特點是GE+EF=OB．
理由是：∵等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=DC，
∴∠ABC=∠DCB，
∵BC=BC，AB=DC，
∴△ABC≌△DCB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
∵EG∥AC，
∴∠GEB=∠OCB，
∴∠GEB=∠OBC，
∴BG=GE，
∵EG∥AC，EF∥BD，
∴四邊形OGEF是平行四邊形，
∴EF=OG，
∴EG+EF=BG+OG=OB，
即GE+EF=OB．

（2）EP+EQ=4，
理由是：
過D作DH⊥BC于H，過C作CM⊥BD交BD的延長線與M，CN⊥PE于N，
在△BDC中由三角形的面積公式得：

1

2

BC•DH=

1

2

BD•CM，
BC×DH=BD×CM，
8×3=6CM，
∴CM=4，
∵CM⊥BD，CN⊥PE，EP⊥BD，
∴∠N=∠CMP=∠EPM=90°，
∴四邊形NPMC是矩形，
∴PN=CM=4，CN∥BD，
∴∠OBC=∠BCN，
∵∠OBC=∠OCB，
∴∠OCB=∠BCN，
∵EQ⊥AC，
∴∠EQC=∠N=90°，
∴QE=EN，
∴EP+EQ=EN+EP=PN=4，
即EP+EQ=4．

點評：本題主要考查對等腰梯形的性質，等腰三角形的性質和判定，平行線的性質，平行四邊形的性質和判定，矩形的性質和判定，三角形的面積，角平分線的性質，垂線等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．