Question

（2012•黔東南州）如圖，已知拋物線經過點A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點．
（1）求拋物線的解析式．
（2）點M是線段BC上的點（不與B，C重合），過M作MN∥y軸交拋物線于N，若點M的橫坐標為m，請用m的代數式表示MN的長．
（3）在（2）的條件下，連接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了拋物線上的三個點的坐標，直接利用待定系數法即可求出拋物線的解析式．
（2）先利用待定系數法求出直線BC的解析式，已知點M的橫坐標，代入直線BC、拋物線的解析式中，可得到M、N點的坐標，N、M縱坐標的差的絕對值即為MN的長．
（3）設MN交x軸于D，那么△BNC的面積可表示為：S_△BNC=S_△MNC+S_△MNB=

1

2

MN（OD+DB）=

1

2

MN•OB，MN的表達式在（2）中已求得，OB的長易知，由此列出關于S△BNC、m的函數關系式，根據函數的性質即可判斷出△BNC是否具有最大值．

解答：解：（1）設拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-3），則：
a（0+1）（0-3）=3，a=-1；
∴拋物線的解析式：y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3．

（2）設直線BC的解析式為：y=kx+b，則有：

3k+b=0 b=3

，
解得

k=-1 b=3

；
故直線BC的解析式：y=-x+3．
已知點M的橫坐標為m，MN∥y，則M（m，-m+3）、N（m，-m²+2m+3）；
∴故MN=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m（0＜m＜3）．

（3）如圖；
∵S_△BNC=S_△MNC+S_△MNB=

1

2

MN（OD+DB）=

1

2

MN•OB，
∴S_△BNC=

1

2

（-m²+3m）•3=-

3

2

（m-

3

2

）²+

27

8

（0＜m＜3）；
∴當m=

3

2

時，△BNC的面積最大，最大值為

27

8

．

點評：該二次函數題較為簡單，考查的知識點有：函數解析式的確定、函數圖象交點坐標的求法、二次函數性質的應用以及圖形面積的解法．（3）的解法較多，也可通過圖形的面積差等方法來列函數關系式，可根據自己的習慣來選擇熟練的解法．