Question

（2013•張家港市二模）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21．動點P從點D出發，沿射線DA的方向以每秒2個單位長的速度運動，動點Q從點C出發，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動，點P、Q分別從點D、C同時出發，當點Q運動到點B時，點P隨之停止運動，設運動的時間為t秒．
（1）設△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式．
（2）當線段PQ與線段AB相交于點O，且2AO=OB時，求∠BQP的正切值．
（3）當PQ⊥BD時，求t的值．

Answer 1

分析：（1）求出BQ=16-t，根據S=

1

2

BQ×CD求出即可；
（2）過Q作QE⊥AD于E，證△OPA∽△OQB，得出

AP

BQ

=

AO

OB

，代入得出方程

2t-21

16-t

=

1

2

，求出t，即可求出PE=t=

58

5

，解直角三角形求出即可；
（3）當PQ⊥BD時，過Q作QF⊥AD于F，證△PQF∽△DBC，得出

PF

FQ

=

DC

CB

，代入求出即可．

解答：解：
（1）如圖1，∵BQ=16-t，
∴S=

1

2

BQ×CD
=

1

2

（16-t）•12
S=96-6t；

（2），如圖2，過Q作QE⊥AD于E，
則QE=12，
∵AD∥BC，
∴△OPA∽△OQB，
∴

AP

BQ

=

AO

OB

，
∵BO=2AO，
∴

2t-21

16-t

=

1

2

，
t=

58

5

，
PE=t=

58

5

，
tan∠BQP=tan∠EPQ=

QE

PE

=

30

29

；

（3）如圖3，當PQ⊥BD時，過Q作QF⊥AD于F，
則∠QFP=∠C=∠BOQ=90°，
∴∠DBC+∠BDC=90°，∠DBC+∠BQP=90°，
∴∠BDC=∠BQP，
∵AD∥BC，
∴∠FPQ=∠BQP，
∴∠FPQ=∠BDC，
∵∠C=∠QFP，
∴△PQF∽△DBC，
∴

PF

FQ

=

DC

CB

，
∴

t

12

=

12

16

，
∴t=9．

點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，梯形的性質，平行線性質，三角形的面積的應用，主要考查學生的推理能力和計算能力，題目比較好．