Question

（2013•張家港市二模）如圖，菱形紙片ABCD中，∠A=60°，將紙片折疊，點A、D分別落在A′、D′處，且A′D′經過B，EF為折痕，當D′F⊥CD時，

FD

FC

的值為（　　）

• A．

  3

  -1
• B．

  3

  +1
• C．2

  3

  -2
• D．2

  3

  -1

Answer 1

分析：延長FC、A′D′相交于點G，根據菱形的對角相等求出∠BCD=∠A=60°，根據翻折的性質可得∠A′D′F=∠D，再求出∠FD′G=60°，根據直角三角形兩銳角互余求出∠G=30°，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠CBG=30°，從而得到∠CBG=∠G，根據等角對等邊求出BC=CG，然后利用∠G的正切值列式整理即可得解．

解答：解：如圖，延長FC、A′D′相交于點G，
∵菱形ABCD中，∠A=60°，
∴∠BCD=∠A=60°，∠D=180°-60°=120°，
由翻折的性質得，∠A′D′F=∠D=120°，FD′=FD，
∴∠FD′G=180°-∠A′D′F=180°-120°=60°，
∵D′F⊥CD，
∴∠G=90°-∠FD′G=90°-60°=30°，
∴∠CBG=∠BCD-∠G=60°-30°=30°，
∴∠CBG=∠G，
∴BC=CG，
在Rt△FD′G中，tan∠G=

FD′

FG

，
∵FG=FC+CG=FC+BC=FC+CD=FC+FD+FC=2FC+FD，
∴tan30°=

FD

2FC+FD

=

3

3

，
整理得，

FD

FC

=

2

3 -1

=

3

+1．
故選B．

點評：本題考查了翻折變換的性質，菱形的性質，等腰三角形的判定與性質，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，作輔助線構造出等腰三角形和直角三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．