Question

如圖，將矩形OABC放置在平面直角坐標系中，點D在邊OC上，點E在邊OA上，把矩形沿直線DE翻折，使點O落在邊AB上的點F處，且tan∠BFD=，若線段OA的長是一元二次方程x²-7x-8=0的一個根，又2AB=3OA，請解答下列問題：
（1）求點B、F的坐標；
（2）求直線ED的解析式；
（3）在直線ED、FD上是否存在點M、N，使以點C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）∵x²-7x一8=0，
∴x₁=8，x₂=-1（舍），
∴OA=8，
又∵2AB=3OA，
∴AB=12，
∵∠EFD=90°，
∴∠DFB+∠EFA=∠EFA+∠AEF=90°，
∴∠AEF=∠DFB，
∵tan∠DFB=tan∠AEF=，
∴設AF=4k，AE=3k，
根據勾股定理得，EF=EO=5k，
3k+5k=8，
∴k=1，
∴AE=3，AF=4，EF=EO=5，
∴點B的坐標為（12，8），點F的坐標為（4，8）；
（2）設直線ED的解析式是y=kx+b，
∵直線ED經過（0，5），（10，0）兩點，
∴，
解得，
∴；
（3），。