Question

已知關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根．
求證：（1）方程x²+px+q=0有兩個不相等的實數根；
（2）設方程x²+px+q=0的兩個實數根是x₁，x₂，若|x₁|＜|x₂|，則．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于一元二次方程有兩個相等的實數根，根據判別式的意義得到（-2p）²-4×5×5q=0，則6p²-25q=0，即p²=q，且q＞0，再計算方程x²+px+q=0的△=p²-4q=q-4q=q，由q＞0得到△＞0，可判斷方程x²+px+q=0有兩個不相等的實數根；
（2）由6p²-25q=0得q=，代入方程x²+px+q=0整理得到25x²+25px+6p²=0，即（5x+3p）（5x+2p）=0，由于|x₁|＜|x₂|，則x₁=-，x₂=-，即可得到兩根的比值．
解答：證明：（1）∵一元二次方程有兩個相等的實數根，
∴（-2p）²-4×5×5q=0，
整理得6p²-25q=0，即p²=q，且q＞0，
∴對于方程x²+px+q=0，△=p²-4q=q-4q=q，
∵q＞0，
∴△＞0，
∴方程x²+px+q=0有兩個不相等的實數根；

（2）∵6p²-25q=0，
∴q=，
∴x²+px+=0，即25x²+25px+6p²=0，
∴（5x+3p）（5x+2p）=0，
∵|x₁|＜|x₂|，
∴x₁=-，x₂=-，
∴=．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程兩個為x₁，x₂，則x₁+x₂=-，x₁•x₂=．也考查了一元二次方程根的判別式．