Question

如圖，半徑為1的⊙M經過直角坐標系的原點O，且分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點A、B，∠OMA=60°，過點B的切線交x軸負半軸于點C，拋物線過點A、B、C．
（1）求點A、B的坐標；
（2）求拋物線的函數關系式；
（3）若點D為拋物線對稱軸上的一個動點，問是否存在這樣的點D，使得△BCD是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點D的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可直接得出點A、B的坐標為A（1，0），B（0，

3

）；
（2）再根據BC是切線，可求出BC的長，即得出點C的坐標，由待定系數法求出拋物線的解析式；
（3）先假設存在，看能否求出符合條件的點D即可．

解答：解：（1）∵MO=MA=1，∠OMA=60°，
∴∠ABO=30°，
∴OB=

3

，
∴A（1，0），B（0，

3

）；

（2）∵BC是切線，
∴∠ABC=90°，
∴∠ACB=30°，
∴AC=4，
∴C（-3，0），
設拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，將點A、B、C代入得，

a+b+c=0 c= 3 9a-3b+c=0

，
解得

a=- 3 3 b=- 2 3 3 c= 3

∴拋物線的解析式為y=-

3

3

x²-

2 3

3

x+

3

；

（3）設在對稱軸上存在點D，使△BCD是等腰三角形，
對稱軸為直線x=-1，設點D（-1，m），
分3種情況討論：①BC=BD；

1+(m- 3 )2

=2

3

，
解得m=±

11

+

3

；
②BC=CD；

4+m2

=2

3

，解得m=±2

2

；
③BD=CD；

4+m2

=

1+(m- 3 )2

，解得：m=0，
∴符合條件的點D的坐標為，（-1，

11

+

3

），（-1，-

11

+

3

），（-1，2

2

），（-1，-2

2

），（-1，0）．

點評：本題是二次函數的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和等腰三角形判定等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數形結合等數學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．