Question

（2001•東城區）已知：二次函數的圖象經過點A（1，0）和點B（2，1），且與y軸交點的縱坐標為m．
（1）若m為定值，求此二次函數的解析式；
（2）若二次函數的圖象與x軸還有異于點A的另一個交點，求m的取值范圍；
（3）若二次函數的圖象截直線y=-x+1所得線段的長為2

2

，確定m的值．

Answer 1

分析：（1）由于二次函數的圖象與y軸交點的縱坐標為m，所以可設二次函數解析式為y=ax²+bx+m，把A（1，0）和B（2，1）代入，運用待定系數法即可求出此二次函數的解析式為y=

m+1

2

x²-

3m+1

2

x+m；
（2）由于二次函數為y=

m+1

2

x²-

3m+1

2

x+m的圖象與x軸有兩個交點，所以一元二次方程

m+1

2

x²-

3m+1

2

x+m=0的判別式△＞0且

m+1

2

≠0，由此可求出m的取值范圍；
（3）設二次函數y=

m+1

2

x²-

3m+1

2

x+m的圖象截直線y=-x+1所得線段為MN，且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），先由一元二次方程根與系數的關系求出（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（

m-3

m+1

）²，再根據線段MN的長為2

2

，運用兩點間的距離公式（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=MN²，即可求出m的值．

解答：解：（1）若m為定值，設二次函數解析式為y=ax²+bx+m，
把A（1，0）和B（2，1）代入上式，得

a+b+m=0 4a+2b+m=1

，
解得

a= m+1 2 b= -3m-1 2

，
則二次函數解析式為y=

m+1

2

x²-

3m+1

2

x+m；

（2）若二次函數的圖象與x軸還有異于點A的另一個交點，
則

m+1

2

x²-

3m+1

2

x+m=0有兩個不相等的實數根，
故△＞0，
即（-

3m+1

2

）²-4×

m+1

2

m＞0，
整理得，m²-2m+1＞0，
（m-1）²＞0，
解得m≠1；

m+1

2

≠0，
解得m≠-1；
則m的取值范圍為m≠±1；

（3）設二次函數y=

m+1

2

x²-

3m+1

2

x+m的圖象截直線y=-x+1所得線段為MN，且M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
令

m+1

2

x²-

3m+1

2

x+m=-x+1，
整理，得（m+1）x^2_--（3m-1）x+2m-2=0，
∴x₁+x₂=

3m-1

m+1

，x₁•x₂=

2m-2

m+1

；
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（

3m-1

m+1

）²-4×

2m-2

m+1

=（

m-3

m+1

）²；
∵y=-x+1，
∴y₁-y₂=（-x₁+1）-（-x₂+1）=-（x₁-x₂），
∴（y₁-y₂）²=（x₁-x₂）²=（

m-3

m+1

）²；
又∵MN=2

2

，
∴（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=（2

2

）²，
∴2（

m-3

m+1

）²=8，
∴

m-3

m+1

=±2，
∴m₁=-5，m₂=

1

3

．
故所求m的值為-5或

1

3

．

點評：本題主要考查了運用待定系數法求二次函數的解析式，二次函數與一元二次方程的關系及兩點間的距離公式，綜合性較強，有一定難度．