Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC ， 對角線BD平分∠ABC ， P是BD上一點，過點P作PM⊥AD ， PN⊥CD ， 垂足分別為M ， N ．

（1）求證：∠ADB＝∠CDB；
（2）若∠ADC＝90°，求證：四邊形MPND是正方形．

Answer 1

【答案】
（1）

解答：證明：∵對角線BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△CBD中， ，

∴△ABD≌△CBD（SAS），

∴∠ADB＝∠CDB．

（2）

解答：證明：∵PM⊥AD，PN⊥CD

∴∠PMD＝∠PND＝90°，∵∠ADC＝90°，

∴四邊形MPND是矩形，

∵∠ADB＝∠CDB，

∴∠ADB＝45°，

∴PM＝MD，

∴四邊形MPND是正方形．

【解析】（1）根據角平分線的性質和全等三角形的判定方法證明△ABD≌△CBD ， 由全等三角形的性質即可得到：∠ADB＝∠CDB；（2）若∠ADC＝90°，由（1）中的條件可得四邊形MPND是矩形，再根據兩邊相等的四邊形是正方形即可證明四邊形MPND是正方形．