Question

如圖，P是邊長為1的正方形ABCD對角線AC上一動點（P與A、C不重合），點E在射線BC上，且PE=PB.

（1）求證：① PE=PD ； ② PE⊥PD；

（2）設AP=x, △PBE的面積為y.

① 求出y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；

② 當x取何值時，y取得最大值，并求出這個最大值.

Answer 1

（1）證法一：

① ∵ 四邊形ABCD是正方形，AC為對角線，

∴ BC=DC, ∠BCP=∠DCP=45°.    

∵ PC=PC，

∴ △PBC≌△PDC （SAS）.       

∴ PB= PD， ∠PBC=∠PDC．      

又∵ PB= PE ，

∴ PE=PD．      

② （i）當點E在線段BC上(E與B、C不重合)時，

∵ PB=PE，

∴ ∠PBE=∠PEB，

∴ ∠PEB=∠PDC，

∴ ∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°，

∴ ∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°，

∴ PE⊥PD．  

（ii）當點E與點C重合時，點P恰好在AC中點處，此時，PE⊥PD.

（iii）當點E在BC的延長線上時，如圖.

∵ ∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，

∴ ∠DPE=∠DCE=90°，

∴ PE⊥PD.

綜合（i）（ii）（iii）, PE⊥PD

（2）① 過點P作PF⊥BC，垂足為F，則BF=FE.

∵ AP=x，AC=，

∴ PC=- x，PF=FC=.

   BF=FE=1-FC=1-()=.

∴ S_△PBE=BF?PF=().  

即    (0＜x＜).    

② .  

∵ ＜0，

∴ 當時，y_最大值.         

（1）證法二：① 過點P作GF∥AB，分別交AD、BC于G、F. 如圖所示.

∵ 四邊形ABCD是正方形，

∴ 四邊形ABFG和四邊形GFCD都是矩形，

△AGP和△PFC都是等腰直角三角形.

∴ GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°.

又∵ PB=PE，

∴ BF=FE，

∴ GP=FE，

∴ △EFP≌△PGD （SAS）.        

∴ PE=PD．                     

② ∴ ∠1=∠2.

∴ ∠1+∠3=∠2+∠3=90°.

∴ ∠DPE=90°.

∴ PE⊥PD．                    

（2）①∵ AP=x，

∴ BF=PG=，PF=1-.    

∴ S_△PBE=BF?PF=(). 

即    (0＜x＜). 

② . 

∵ ＜0，

∴ 當時，y_最大值.