Question

已知關于x的一元二次方程x²+k（x-1）-1=0
（1）求證：無論k取何值，這個方程總有兩個實數根；
（2）是否存在正數k，使方程的兩個實數根x₁，x₂滿足x₁²+kx₁+2x₁x₂=7-3（x₁+x₂）？若存在，試求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）求證無論k取何值，這個方程總有兩個實數根，即是證明方程的判別式△≥0即可；
（2）本題是對根的判別式與根與系數關系的綜合考查，兩根之和等于-，兩根之積等于．
x₁²+kx₁+2x₁x₂=7-3（x₁+x₂），即可用k的式子進行表示，求得k的值，然后判斷是否滿足實際意義即可．
解答：解：（1）方程x²+k（x-1）-1=0可化為x²+kx-k-1=0，
由于△=k²+4k+4=（k+2）²≥0，
所以方程有兩個實數根．

（2）假設存在正數k，滿足x₁²+kx₁+2x₁x₂=7-3（x₁+x₂），
由于x₁，x₂是方程的兩個實數根，
∴把x=x₁代入得：x₁²+kx₁-k-1=0，
∴x₁²+kx₁=k+1，x₁+x₂=-k，x₁x₂=-k-1，
即k+1+2（-k-1）=7+3k，
解得k=-2，這與題設k＞0相矛盾．
∴滿足條件的正數k不存在．
點評：本題在求解的過程中應用了反證法，先假設成立，然后推出矛盾，證明假設的不成立．