Question

【題目】定義：如果一條直線與一條曲線有且只有一個交點，且曲線位于直線的同旁，稱之為直線與曲線相切，這條直線叫做曲線的切線，直線與曲線的唯一交點叫做切點．

（1）如圖，在平面直角坐標系中，點為坐標原點，以點為圓心，5為半徑作圓，交軸的負半軸于點，求過點的圓 的切線的解析式；

（2）若拋物線（）與直線（）相切于點，求直線的解析式；

（3）若函數的圖象與直線相切，且當時，的最小值為，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）1或

【解析】

（1）連接，由、可求，即．因為過點的切線，故有，再加公共角，可證，由對應邊成比例可求的長，進而得點坐標，即可求直線解析式．

（2）分別把點代入拋物線和直線解析式，求得拋物線解析式為，直線解析式可消去得．由于直線與拋物線相切（只有一個交點），故聯立解析式得到關于的方程有兩個相等的實數根，即△，即求得的值．

（3）因為二次函數圖象與直線相切，所以把二次函數和直線解析式聯立，得到關于的方程有兩個相等是實數根，即△，整理得式子，可看作關于的二次函數，對應拋物線開口向上，對稱軸為直線．分類討論對稱軸在左側、中間、右側三種情況，畫出圖形得：①當對稱軸在左側即時，由圖象可知時隨的增大而增大，所以時取得最小值，把、代入得到關于的方程，方程無解；②當對稱軸在范圍內時，時即取得最小值，得方程，解得：；③當對稱軸在2的右側即時，由圖象可知時隨的增大而減小，所以時取得最小值，把、代入即求得的值．

解：（1）如圖1，連接，記過點的切線交軸于點

，

，

，

設直線解析式為：

，解得：

過點的的切線的解析式為;

（2）拋物線經過點

，解得：

拋物線解析式：

直線經過點

，可得：

直線解析式為：

直線與拋物線相切

關于的方程有兩個相等的實數根

方程整理得：

△

解得：

直線解析式為；

（3）函數的圖象與直線相切

關于的方程有兩個相等的實數根

方程整理得：

△

整理得：，可看作關于的二次函數，

對應拋物線開口向上，對稱軸為直線

當時，的最小值為

①如圖2，當時，在時隨的增大而增大

時，取得最小值

，方程無解；

②如圖3，當時，時，取得最小值

，解得：；

③如圖4，當時，在時隨的增大而減小

時，取得最小值

，解得：，（舍去）

綜上所述，的值為1或．