Question

13．已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點B和點C的坐標分別為（3，0）（0，-3），拋物線的對稱軸為x=1，D為拋物線 的頂點．
（1）求拋物線的解析式．
（2）拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使△PCD為等腰三角形？若存在，寫出點P點的坐標，若不存在，說明理由．
（3）點E為線段BC上一動點，過點E作x軸的垂線，與拋物線交于點F，求四邊形ACFB面積的最大值，以及此時點E的坐標．

Answer 1

分析 （1）由B、C的坐標，結合拋物線對稱軸，根據待定系數法可求得拋物線解析式；
（2）由拋物線解析式可求得D點坐標，可設P點坐標為（1，t），則可表示出PC、PD和CD的長，由等腰三角形可分PC=PD、PC=CD和PD=CD三種情況分別得到關于t的方程，可求得P點坐標；
（3）由B、C可求得直線BC解析式，可設出F點坐標，則可表示出E點坐標，從而可求得EF的長，則可表示出△CBF的面積，從而可表示出四邊形ACFB的面積，再利用二次函數的性質可求得其最大值，及E點的坐標．

解答 解：
（1）∵點B和點C的坐標分別為（3，0）（0，-3），拋物線的對稱軸為x=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=0}\\{c=-3}\\{-\frac{b}{2a}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=x²-2x-3；
（2）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴D（1，-4），且C（0，-3），
∵P點為對稱軸上的一點，
∴可設P（1，t），
∴PC=$\sqrt{{1}^{2}+（t+3）^{2}}$=$\sqrt{{t}^{2}+6t+10}$，PD=|t-4|，CD=$\sqrt{{1}^{2}+（-4+3）^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵△PCD為等腰三角形，
∴分PC=PD、PC=CD和PD=CD三種情況，
①當PC=PD時，則$\sqrt{{t}^{2}+6t+10}$=|t-4|，解得t=$\frac{3}{7}$，此時P點坐標為（1，$\frac{3}{7}$）；
②當PC=CD時，則$\sqrt{{t}^{2}+6t+10}$=$\sqrt{2}$，解得t=-2或t=-4（與D點重合，舍去），此時P點坐標為（1，-2）；
③當PD=CD時，則|t-4|=$\sqrt{2}$，解得t=4+$\sqrt{2}$或t=4-$\sqrt{2}$，此時P點坐標為（1，4+$\sqrt{2}$）或（1，4-$\sqrt{2}$）；
綜上可知存在滿足條件的P點，其坐標為（1，$\frac{3}{7}$）或（1，-2）或（1，4+$\sqrt{2}$）或（1，4-$\sqrt{2}$）；
（3）∵B（3，0），C（0，-3），
∴直線BC解析式為y=x-3，

∵E點在直線BC上，F點在拋物線上，
∴設F（x，x²-2x-3），E（x，x-3），
∵點F在線段BC下方，
∴EF=x-3-（x²-2x-3）=-x²+3x，
∴S_△BCF=$\frac{1}{2}$EF•OB=$\frac{1}{2}$×3（-x²+3x）=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$x=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，且S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•OC=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
∴S_{四邊形ACFB}=S_△ABC+S_△BCF=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$+6=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{8}$，
∵-$\frac{3}{2}$＜0，
∴當x=$\frac{3}{2}$時，S_{四邊形ACFB}有最大值，最大值為$\frac{75}{8}$，此時E點坐標為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
綜上可知四邊形ACFB面積的最大值$\frac{75}{8}$，此時點E的坐標為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$）．

點評 本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、二次函數的性質、等腰三角形的性質、勾股定理、三角形的面積、方程思想及分類討論思想等知識．在（1）中注意待定系數法的應用步驟，在（2）中用P點坐標表示出PC、PC及CD的長是解題的關鍵，注意分三種情況，在（3）中用F點的坐標表示出四邊形ACFB的面積是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．