Question

如圖所示，已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的中點(diǎn)，ED交AB延長線于F，求證：

AB

AC

=

DF

AF

．

Answer 1

分析：首先由直角三角形的性質(zhì)可得：△CBA∽△ABD，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得：AB：AC=BD：AD，又由直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，證得：ED=

1

2

AC=EC，可得：∠C=∠EDC，則易得：∠FAD=∠FDB，∠F為公共角，證得：△DBF∽△ADF，則得：BD：AD=DF：AF，則問題得證．

解答：證明：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴△CBA∽△ABD，
∴

AB

BD

=

AC

AD

，
∴AB：AC=BD：AD①，
∴∠C=∠FAD，
又∵E為AC的中點(diǎn)，AD⊥BC，
∴ED=

1

2

AC=EC，
∴∠C=∠EDC，
又∵∠EDC=∠FDB，
∴∠FAD=∠FDB，∠F為公共角，
∴△DBF∽△ADF，
∴BD：AD=DF：AF②，
由①②得，

AB

AC

=

DF

AF

．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)等知識，綜合性較強(qiáng)，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．