Question

如圖所示，在平面直角坐標系內點A和點C的坐標分別為（4，8），（0，5），過點A作AB⊥x軸于點B，過OB上的動點D作直線y=kx+b平行于AC，與AB相交于點E，連接CD，過點E作EF∥CD交AC于點F．
（1）求經過A、C兩點的直線的解析式；
（2）當點D在OB上移動時，能否使四邊形CDEF為矩形？若能，求出此時k，b的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知A、C兩點坐標，用待定系數求出解析式；
（2）先由DE∥AC，直線AC的解析式為：y=

3

4

x+5，根據兩直線平行的性質可知直線DE的斜率與直線AC的斜率相等，即k=

3

4

，故可設直線DE的解析式為：y=

3

4

x+n，用含n的代數式表示出M、D兩點的坐標．再假設四邊形CDEF為矩形，易證△COD∽△DOM，根據相似三角形的對應邊成比例，列出關系式，如果能夠求出符合題意的n值，說明當點D在OB上移動時，能使四邊形CDEF為矩形；否則就不能．

解答：解：（1）設直線AC的解析式為y=kx+b，
∵A（4，8），C（0，5），
∴

4k+b=8 b=5

，
解得

k= 3 4 b=5

，
∴直線AC的解析式為：y=

3

4

x+5；

（2）∵DE∥AC，直線AC的解析式為：y=

3

4

x+5，
∴可設直線DE的解析式為：y=

3

4

x+n．
設直線DE與y軸交于點M，則M（0，n），D（-

4

3

n，0）．
如果四邊形CDEF為矩形，則DE⊥CD，
∴∠OCD=∠ODM=90°-∠ODC，
又∵∠COD=∠DOM，
∴△COD∽△DOM，
∴OC：OD=OD：OM，
∴OD²=OC•OM，
∴（-

4

3

n）²=5|n|，
∵n＜0，解得n=-

45

16

，
即直線DE的解析式為：y=

3

4

x-

45

16

，
故能使四邊形CDEF為矩形，此時k=

3

4

，b=-

45

16

．

點評：此題考查運用待定系數求一次函數的解析式，相似三角形的判定與性質，矩形的性質，綜合性較強，難度中等．