Question

如果一個正整數能表示為兩個連續偶數的平方差，那么稱這個正整數為“神秘數”．如：4=2²－0²，12＝4²－2²，20＝6²－4²，因此4，12，20都是“神秘數”．
（1）28和2012這兩個數是“神秘數”嗎？為什么？
（2）設兩個連續偶數為2k＋2和2k（其中k取非負整數），由這兩個連續偶數構造的神秘數是4的倍數嗎？為什么？；
（3）兩個連續奇數（取正數）的平方差會是“神秘數”嗎？為什么？

Answer 1

是；是4的倍數；不是

試題分析：（1）28＝8²－6²，2012＝504²－502²．所以28和2012是“神秘數”． 　  2分
（2）設兩個連續偶數為(2k+2)和2k，
，　　　 　  3分
所以，兩個連續偶數構造的神秘數是4的倍數．　　　　　　　　　　　  1分
（3）設兩個連續奇數為(2k+1)和(2k－1) ，
，　　　　　　　  3分
所以，兩個連續奇數的平方差不是“神秘數
點評：在解題時要能靈運用二次函數的圖象和性質求出二次函數的解析式，利用數形結合思想解題是本題的關鍵