Question

（2013•新疆）如圖，已知拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于A、B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C，其中A點的坐標是（1，0），C點坐標是（4，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在點D，使△BCD的周長最小？若存在，求出點D的坐標，若不存在，請說明理由；
（3）若點E是（1）中拋物線上的一個動點，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最大面積及E點的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法求二次函數解析式解答即可；
（2）利用待定系數法求出直線AC的解析式，然后根據軸對稱確定最短路線問題，直線AC與對稱軸的交點即為所求點D；
（3）根據直線AC的解析式，設出過點E與AC平行的直線，然后與拋物線解析式聯立消掉y得到關于x的一元二次方程，利用根的判別式△=0時，△ACE的面積最大，然后求出此時與AC平行的直線，然后求出點E的坐標，并求出該直線與x軸的交點F的坐標，再求出AF，再根據直線l與x軸的夾角為45°求出兩直線間的距離，再求出AC間的距離，然后利用三角形的面積公式列式計算即可得解．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3經過點A（1，0），點C（4，3），
∴

a+b+3=0 16a+4b+3=3

，
解得

a=1 b=-4

，
所以，拋物線的解析式為y=x²-4x+3；

（2）∵點A、B關于對稱軸對稱，
∴點D為AC與對稱軸的交點時△BCD的周長最小，
設直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

k+b=0 4k+b=3

，
解得

k=1 b=-1

，
所以，直線AC的解析式為y=x-1，
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴拋物線的對稱軸為直線x=2，
當x=2時，y=2-1=1，
∴拋物線對稱軸上存在點D（2，1），使△BCD的周長最小；

（3）如圖，設過點E與直線AC平行線的直線為y=x+m，
聯立

y=x+m y=x2-4x+3

，
消掉y得，x²-5x+3-m=0，
△=（-5）²-4×1×（3-m）=0，
即m=-

13

4

時，點E到AC的距離最大，△ACE的面積最大，
此時x=

5

2

，y=

5

2

-

13

4

=-

3

4

，
∴點E的坐標為（

5

2

，-

3

4

），
設過點E的直線與x軸交點為F，則F（

13

4

，0），
∴AF=

13

4

-1=

9

4

，
∵直線AC的解析式為y=x-1，
∴∠CAB=45°，
∴點F到AC的距離為

9

4

×

2

2

=

9 2

8

，
又∵AC=

32+(4-1)2

=3

2

，
∴△ACE的最大面積=

1

2

×3

2

×

9 2

8

=

27

8

，此時E點坐標為（

5

2

，-

3

4

）．

點評：本題考查了二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，待定系數法求一次函數解析式，利用軸對稱確定最短路線問題，聯立兩函數解析式求交點坐標，利用平行線確定點到直線的最大距離問題．