Question

如圖所示，拋物線m：y=ax²+b（a＜0，b＞0）與x軸于點A、B（點A在點B的左側），與y軸交于點C．將拋物線m繞點B旋轉180°，得到新的拋物線n，它的頂點為C₁，與x軸的另一個交點為A₁．
（1）當a=-1，b=1時，求拋物線n的解析式；
（2）四邊形AC₁A₁C是什么特殊四邊形，請寫出結果并說明理由；
（3）若四邊形AC₁A₁C為矩形，請求出a，b應滿足的關系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據a=-1，b=1得出拋物線m的解析式，再利用C與C₁關于點B中心對稱，得出二次函數的頂點坐標，即可得出答案；
（2）利用兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形即可證明；
（3）利用矩形性質得出要使平行四邊形AC₁A₁C是矩形，必須滿足AB=BC，即可求出．
解答：解：（1）當a=-1，b=1時，拋物線m的解析式為：y=-x²+1．
令x=0，得：y=1．∴C（0，1）．
令y=0，得：x=±1．
∴A（-1，0），B（1，0），
∵C與C₁關于點B中心對稱，
∴拋物線n的解析式為：y=（x-2）²-1=x²-4x+3；

（2）
四邊形AC₁A₁C是平行四邊形．
理由：連接AC，AC₁，A₁C，
∵C與C₁、A與A₁都關于點B中心對稱，
∴AB=BA₁，BC=BC₁，
∴四邊形AC₁A₁C是平行四邊形．

（3）令x=0，得：y=b．∴C（0，b）．
令y=0，得：ax²+b=0，∴，
∴，
∴．
要使平行四邊形AC₁A₁C是矩形，必須滿足AB=BC，
∴，∴，
∴ab=-3．
∴a，b應滿足關系式ab=-3．
點評：此題主要考查了平行四邊形的性質以及矩形的性質和點的坐標關于一點中心對稱的性質，靈活應用平行四邊形的性質是解決問題的關鍵．