Question

如圖，AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，垂足分別為B、C，E為線段AB上一點，
（1）用尺規在射線AN上找一點F，使△CDF與△BDE全等（保留作圖痕跡）；
（2）若BE=3，請寫出此時線段AE與AF的數量關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）以D為圓心，DE為半徑交AN于F₁或F₂，根據角平分線定理得到DB=DC，再根據“HL”可證明Rt△CDF≌Rt△BDE；
（2）先根據“HL”可證明Rt△DBA≌Rt△DCA得到AB=AC，然后討論：當F點在F₁時，AF=AE；當F點在F₂時，AF₂=AC+CF₂=AB+CF₂=AE+BE+BE，AF-AE=2BE=6．

解答：解：（1）以D為圓心，DE為半徑交AN于F₁或F₂，如圖，
∵AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，
∴DB=DC，
∵DE=DF，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）；

（2）∵DB=DC，DA=DA，
∴Rt△DBA≌Rt△DCA（HL）；
∴AB=AC，
∵Rt△CDF≌Rt△BDE，
∴BE=CF，
∴當F點在F₁時，AF=AE；
當F點在F₂時，AF₂=AC+CF₂=AB+CF₂=AE+BE+BE，
∴AF-AE=2BE=6．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應邊相等．也考查了角平分線定理．