Question

如圖，矩形ＡＢＣＤ中，Ｏ是ＡＣ與ＢＤ的交點，過點Ｏ的直線ＥＦ與ＡＢ、ＣＤ的延長線分別交于點Ｅ、Ｆ．

（1）求證：△ＢＯＥ≌△DOF；

（2）當EF與AC滿足什么條件時四邊形ＡＥＣＦ是菱形，并證明你的結論．

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，AC和BD交于點O

∴AB∥CD; OB=OD   

∴∠OEB=∠OFD  

∵∠BOE=∠DOF     

∴△BOE≌△DOF  

(2)解：當EF與AC垂直的時候四邊形AECF是菱形。

證明如下：

     ∵△BOE≌△DOF   

     ∴ BE=DF

     ∵ AB=CD

     ∴AE=CF且AE∥CF

     又∵EF⊥AC

     ∴ 四邊形AECF是菱形

【解析】（1）由矩形的性質：OB=OD，AE∥CF證得△BOE≌△DOF；

（2）當EF⊥AC時，四邊形AECF是菱形．根據已知條件可證明四邊形AECF是平行四邊形，當EF⊥AC，可根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形判定．