Question

如圖，在△ABC中，AB=BC，以BC為直徑作⊙0交AB于點E、交AC于點F，連結EF、BF、CE，BF與CE相交于點D，點G是EF的中點，連結0G．
（1）判斷0G與EF的位置關系，直接寫出你的結論（不需證明）；
（2）求證：EF=CF；
（3）若BF=2+，OG•FD=8-，求⊙O的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于點G是EF的中點，根據垂徑定理的推論可得到OG垂直EF，即OG垂直平分EF；
（2）根據直徑所對的圓周角為直角得到∠BFC=90°，再根據等腰三角形性質得到BF平分∠ABC，即∠ABF=∠CBF，然后根據圓周角定理得∠ABF=∠FCE，∠CBF=∠CEF，則∠FCE=∠CEF，再根據等腰三角形的判定定理即可得到結論；
（3）連結OE、OF，先根據（1）的結論和等腰三角形的判定與性質得到OG平分∠EOF，則∠1=∠EOF，再根據圓周角定理得到∠ECF=∠EOF，所以∠1=∠DCF，于是可判斷Rt△OGF∽Rt△CFD，利用相似比得OG•FD=CF•GF，而OG•FD=8-4，GF=EF，EF=CF，則CF•CF=8-4，即CF²=16-8，接著根據勾股定理計算出BC，即可得到⊙的半徑，然后根據圓的面積公式計算．
解答：（1）解：∵點G是EF的中點，
∴OG垂直EF；

（2）證明：∵BC為⊙0的直徑，
∴∠BFC=90°，
∴BF⊥AC，
又∵AB=BC，
∴BF平分∠ABC，即∠ABF=∠CBF，
∵∠ABF=∠FCE，∠CBF=∠CEF，
∴∠FCE=∠CEF，
∴EF=CF；

（3）解：連結OE、OF，如圖，
∵OG垂直平分EF，
∴OF=OE，∠OGF=90°，
∴OG平分∠EOF，
∴∠1=∠EOF，
∵∠ECF=∠EOF，
∴∠1=∠DCF，
∴Rt△OGF∽Rt△CFD，
∴OG：CF=GF：FD，即OG•FD=CF•GF，
∵OG•FD=8-4，GF=EF，EF=CF，
∴CF•CF=8-4，即CF²=16-8，
在Rt△BFC中，BF=2+2，
∴BC²=BF²+CF²=（2+2）²+16-8=28，
∴BC=2，
∴OB=
∴⊙O的面積=π•（）²=7π．
點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理及其推論、圓周角定理及其推；善于運用勾股定理和相似比進行幾何計算．