Question

如圖，已知：正△ABC，AO⊥BC于H，⊙O切AB為D，
（1）求證：AC為⊙O切線；
（2）⊙O與BC交于E、F，若EF=2，OH=

3

3

，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）過O作OG垂直于AC于點G，連接OD，由AB為圓O的切線，利用切線的性質得到OD垂直于AB，可得出一對直角相等，再由三角形ABC為等邊三角形，AO垂直于BC，利用三線合一得到AO為角平分線，得到一對角相等，再由AO為公共邊，利用AAS可得出三角形AOD與三角形AOG全等，利用全等三角形的對應邊相等可得出OD=OG，即OG為圓的半徑，利用切線的判定方法可得出AC為圓O的切線，得證；
（2）由OH垂直于EF，利用垂徑定理得到H為EF的中點，由EF的長求出EH的長，在直角三角形OEH中，利用銳角三角函數定義求出tan∠EOH的值，利用特殊角的三角函數值求出∠EOH的度數，同時利用勾股定理求出OE的長，即為圓的半徑，再由OH垂直于EF，且H為EF中點，得到OH垂直平分EF，可得出OE=OF，利用三線合一得到OH為角平分線，可得出∠EOF的度數，由扇形OEF的面積-三角形OEF的面積=陰影部分的面積，分別利用扇形的面積公式及三角形的面積公式求出即可．

解答：解：（1）證明：過O作OG⊥AC于點G，可得∠AGO=90°，連接OD，

∵△ABC為等邊三角形，且AO⊥BC，
∴AO為∠BAC的平分線，即∠DAO=∠CAO，
又AB為圓O的切線，∴OD為圓O的半徑，∠ADO=∠AGO=90°，
在△ADO和△AGO中，

∠DAO=∠CAO ∠ADO=∠AGO AO=AO

，
∴△AGO≌△ADO（AAS），
∴OD=OG，又OD為圓O的半徑，
則AC為圓O的切線；
（2）∵OH⊥EF，
∴H為EF的中點，又EF=2，
∴EH=FH=1，又OH=

3

3

，
在Rt△OEH中，tan∠EOH=

EH

OH

=

3

，
∴∠EOH=60°，
由勾股定理得：OE=

OH2+EH2

=

2 3

3

，
∵OH⊥EF，H為EF的中點，
∴OE=OF，
∴∠EOF=2∠EOH=120°，
則S_陰影=S_扇形OEF-S_△EOF
=

120π•( 2 3 3 )2

360

-

1

2

×2×

3

3

=

4π

9

-

3

3

．

點評：此題考查了切線的判定與性質，銳角三角函數定義，等腰三角形的三線合一性質，垂徑定理，勾股定理，以及扇形的面積求法，利用了轉化的思想，切線的判定方法有兩種：有點，連接證明垂直；無點，作垂線證明垂線段等于圓的半徑，本題第一問用的是方法2．