Question

6．在矩形ABCD中，AB=2，AD=5，將一直角尺的頂點放在AD上的點P處（AP＜PD），直角尺的兩直角邊分別交矩形邊于點E，F，連接EF（圖1）．當點E在點B時，點F恰好與點C重合（圖2）．
（1）求（圖2）中AP的長；
（2）將直角尺繞（1）中的點P逆時針旋轉，點E從點A的位置開始．
①如果旋轉到圖（2）的位置停止，在這個過程中，tan∠PEF的值是否發生變化？若不變，請求出這個值，若變化，請說明理由；
②如果旋轉到點F在點D的位置，直接寫出線段EF的中點經過的路線長．

Answer 1

分析 （1）如答圖1，利用互余關系證明△APB∽△DCP，利用相似比求AP；
（2）①tan∠PEF的值不變．如答圖2，過F作FG⊥AD，垂足為G，同（1）的方法證明△APB∽△DCP，得相似比$\frac{PF}{PE}$=$\frac{GF}{AP}$=$\frac{2}{1}$=2，再利用銳角三角函數的定義求值；
②如答圖4，畫出起始位置和終點位置時，線段EF的中點Q₁，Q₂，連接Q₁Q₂，線段Q₁Q₂即為線段EF的中點經過的路線長，也就是△BPC的中位線．

解答 解：（1）如答圖1，在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠ABP+∠APB=90°，
又∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°，
∴∠ABP=∠DPC，
∴△APB∽△DCP，
∴$\frac{AP}{CD}$=$\frac{AB}{DP}$，即$\frac{AP}{2}$=$\frac{2}{5-AP}$，
∴AP=1，AP=4（舍去）；

（2）①
①∠PEF的大小不變．
理由：過點F作FG⊥AD于點G，如答圖2．
∵∠A=∠B=∠AGF=90°，
∴∠AEP+∠APE=90°，四邊形ABFG是矩形．
∴GF=AB=2．
∵∠EPF=90°，
∴∠APE+∠GPF=90°．
∴∠GPF=∠AEP．
∴△GPF∽△AEP．
∴$\frac{PF}{PE}$=$\frac{GF}{AP}$=$\frac{2}{1}$=2．
在Rt△EPF中，
∵tan∠PEF=2；

②取EF的中點Q，連接BQ，PQ，PB，如答圖3．
∵∠EBF=∠EPF=90°，點Q為EF的中點，
∴QP=$\frac{1}{2}$EF=QB，
∴點Q在線段PB的垂直平分線上．
如答圖4，當點E在點B處時，點Q在BC中點Q₁處；
當點E在點A處時，點Q在PB的中點Q₂處．根據三角形中位線定理得Q₁Q₂=$\frac{1}{2}$PC=$\sqrt{5}$．
∴Q₂Q₃=$\frac{1}{2}\sqrt{5}$．
所以從開始到停止，線段EF的中點Q所經過的路線長Q₁Q₃為$\frac{3}{2}\sqrt{5}$．

點評 本題考查了四邊形綜合題，解題時需要掌握相似三角形的判定與性質，矩形的性質，解直角三角形．解答該題的關鍵是利用互余關系證明相似三角形：△APB∽△DCP．