Question

關于x的一元二次方程（a-6）x²-8x+9=0有實根．
（1）求a的最大整數值；
（2）當a取最大整數值時，①求出該方程的根；②求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據一元二次方程的定義和根的判別式得到△=64-4×（a-6）×9≥0且a-6≠0，解得a≤且a≠6，然后在次范圍內找出最大的整數；
（2）①把a的值代入方程得到x²-8x+9=0，然后利用求根公式法求解；
②由于x²-8x+9=0則x²-8x=-9，然后把x²-8x=-9整體代入所求的代數式中得到原式=2x²-=2x²-16x+，再變形得到2（x²-8x）+，再利用整體思想計算即可．
解答：解：（1）根據題意△=64-4×（a-6）×9≥0且a-6≠0，
解得a≤且a≠6，
所以a的最大整數值為7；

（2）①當a=7時，原方程變形為x²-8x+9=0，
△=64-4×9=28，
∴x=，
∴x₁=4+，x₂=4-；
②∵x²-8x+9=0，
∴x²-8x=-9，
所以原式=2x²-
=2x²-16x+
=2（x²-8x）+
=2×（-9）+
=-．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了一元二次方程的定義和解法以及整體思想．