Question

學校書法興趣小組準備到文具店購買A、B兩種類型的毛筆。文具店的銷售方法是：一次性購買A型毛筆不超過20支時，按零售價銷售；超過20支時，超過部分每支比零售價低0.4元，其余部分仍按零售價銷售。一次性購買B型毛筆不超過15支時，按零售價銷售；超過15支時，超過部分每支比零售價低0.6元，其余部分仍按零售價銷售。已知購買3支A型毛筆和4支B型毛筆共支付18元；購買5支A型毛筆和10支B型毛筆共支付40元。　
（1）求A、B兩種類型的毛筆的零售價；　
（2）如果全組共有15名同學，若每人各買2支A型毛筆和1支B型毛筆，共支付多少元？　　
（3）為了促銷，該文具店對A型毛筆除了原來的銷售方法外，同時又推出了一種新的銷售方法：無論購買多少支，一律按原零售價(即(1)中所求得的A型毛筆的零售價)的90%出售，現要購買A型毛筆a支，B型毛筆20支，在新的銷售方法和原來的銷售方法中，應選擇哪種方法購買花錢較少？并說明理由。

Answer 1

解：（1）設A、B兩種類型的毛筆的零售價分別為x元/支，y元/支，
                則
                ∴A、B兩種類型的毛筆的零售價分別為2元/支，3元/支；
        （2）由題意及(1)可得：　　
                 共支付20×2+(15×2-20)×(2-0.4)+15×3=101(元)；
         （3）設按原來的銷售方法購買花錢為y₁元，按新的銷售方法購買花錢為y₂元， 
                則：當0≤a≤20時，y₁=2a+15×3+(20-15)×(3-0.6)=2a+57 　　
                                               y₂=a×0.9×2+15×3+(20-15)×(3-0.6)=1.8a+57 　　
                       ∴y₁-y₂=2a+57-(1.8a+57)=0.2a 　　
                       ∵0≤a≤20，          
                       ∴0.2a≥0，        ∴y₁-y₂≥0，即y₁≥y₂；
                   　當a＞20時，y₁=20×2+(a-20)×(2-0.4)+15×3+(20-15)×(3-0.6)=1.6a+65 　　
                                          y₂=a×0.9×2+15×3+(20-15)×(3-0.6)=1.8a+57 　　
                                         ∴y₁-y₂=1.6a+65-(1.8a+57)=-0.2a+8=-0.2(a-40) 　
                　∴當a＜40時，y₁-y₂＞0，即y₁＞y₂；　　
                    當a=40時，y₁-y₂=0，即y₁=y₂；　　
                   當a＞40時，y₁-y₂＜0，即y₁＜y₂；
                  綜上所述，當0＜a＜40時，按新的銷售方法購買花錢少；　　
                                   當a=0或a=40時，兩種方法購買花錢一樣少；　　
                                   當a＞40時，按原來的銷售方法購買花錢少。