Question

如圖，⊙D交y軸于A、B，交x軸于C，過點C的直線：y=-2x-8與y軸交于P．
（1）求證：PC是⊙D的切線；
（2）判斷在直線PC上是否存在點E，使得S_△EOP=4S_△CDO，若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）當直線PC繞點P轉動時，與劣弧AC交于點F（不與A、C重合），連接OF，設PF=m，OF=n，求m、n之間滿足的函數關系式，并寫出自變量n的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求得C（，0），P（0，-8），根據cot∠OCD=，cot∠OPC=，得∠OCD=∠OPC，∠OCD+∠PCO=90°，即PC是⊙D的切線；
（2）設直線PC上存在一點E（x，y），使S_△EOP=4S_△CDO×8×|x|，解得x=±，由y=-2x-8可知：當x=時，y=-12，當x=-時，y=-4，所以在直線PC上存在點E（，-12）或（-，-4），
使S_△EOP=4S_△CDO；
（3）作直線PF交劣弧AC于F，交⊙D于Q，連接DQ，由切割線定理得：PC²=PF•PQ①，易證△CPD∽△OPC，，即PC²=PO•PD，可知PO•PD=PF•PQ，∠FPO=∠DPQ，從而證明△FPO∽△DPQ，即，即m=3n（2＜n＜）．
解答：（1）證明：直線y=與x軸、y軸分別交于點C、P，
∴C（，0），P（0，-8），
∴cot∠OCD=，cot∠OPC=，
∴∠OCD=∠OPC，
∵∠OPC+∠PCO=90°，
∴∠OCD+∠PCO=90°，
∴PC是⊙D的切線；

（2）解：設直線PC上存在一點E（x，y），
使S_△EOP=4S_△CDO，
×8×|x|=4××1×2，
解得x=±，由y=-2x-8可知：
當x=時，y=-12，
當x=-時，y=-4，
∴在直線PC上存在點E（，-12）或（-，-4），
使S_△EOP=4S_△CDO；

（3）解法一：
作直線PF交劣弧AC于F，交⊙D于Q，連接DQ，
由切割線定理得：PC²=PF•PQ①，
在△CPD和△OPC中，
∵∠PCD=∠POC=90°，∠CPD=∠OPC，
∴△CPD∽△OPC，
∴，
即PC²=PO•PD②，
由①、②得：PO•PD=PF•PQ，
又∵∠FPO=∠DPQ，
∴△FPO∽△DPQ，即，
∴m=3n（2＜n＜）．
解法二：作直線PF交劣弧AC于F，
設F（x，y），作FM⊥y軸，M為垂足，連接OF，
∵m²-（-8-y）²=x²，
n²-y²=x²，
∴m²-64-16y-y²=n²-y²，
即m²-64-16y=n²①，
又∵3²-（1-y）²=x²，
∴3²-（1-y）²=n²-y²，
解得y=②，
將②代入①，解得：m=3n，m=-3n（舍），
∴m=3n（2＜n＜）．
點評：主要考查了函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象上點的意義和相似三角形的性質來表示相應的線段之間的關系，再結合具體圖形的性質求解．試題中貫穿了方程思想和數形結合的思想，請注意體會．