Question

如圖，⊙M交x軸于B、C兩點，交y軸于A，點M的縱坐標為2．B（-3

3

，O），C（

3

，O）．
（1）求⊙M的半徑；
（2）若CE⊥AB于H，交y軸于F，求證：EH=FH．
（3）在（2）的條件下求AF的長．

Answer 1

分析：（1）過M作MT⊥BC于T連BM，由垂徑定理可求出BT的長，再由勾股定理即可求出BM的長；
（2）連接AE，由圓周角定理可得出∠E=∠ABC=∠AFE，再根據在同一個三角形中等角對等邊及等腰三角形的性質即可解答；
（3）先由（1）中△BMT的邊長確定出∠BMT的度數，再由直角三角形的性質可求出CG的長，由平行四邊形的判定定理判斷出四邊形AFCG為平行四邊形，進而可求出答案．

解答：解：（1）如圖（一），過M作MT⊥BC于T連BM，
∵BC是⊙O的一條弦，MT是垂直于BC的直徑，
∴BT=TC=

1

2

BC=2

3

，
∴BM=

12+4

=4；

（2）如圖（二），連接AE，
證明：∵點B，和點C關于過點M且平行于y軸的直線對稱，所以AM垂直平分BC交BC于D，且點D是坐標的原點，
∴∠ADB=90°，∵CE垂直AB于H，∴∠AHF=90°，
∴點H，B，D，F，四點共圓，∴∠AFH=∠ABC，∠ABC=∠E，∴∠E=∠AFH，
∴AE=AF，
∵CE垂直AB于H，
∴AH說是EF的中線，
∴EH=FH；


（3）由（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°，
作直徑BG，連CG，則∠BGC=∠BAC=60°，
∵⊙O的半徑為4，
∴CG=4．
連AG，
∵∠BCG=90°，
∴CG⊥x軸，
∴CG∥AF，
∵∠BAG=90°，
∴AG⊥AB，
∵CE⊥AB，
∴AG∥CE，
∴四邊形AFCG為口，
∴AF=CG=4．

點評：本題考查的是垂徑定理、圓周角定理、直角三角形的性質及平行四邊形的判定與性質，根據題意作出輔助線是解答此題的關鍵．