Question

平面直角坐標系中，?ABOC如圖放置，點A、C的坐標分別為（0，3）、（-1，0），將此平行四邊形繞點O順時針旋轉90°，得到?A'B'OC'．
（1）若拋物線過點C，A，A'，求此拋物線的解析式；
（2）?ABOC和?A'B'OC'重疊部分△OC'D的周長；
（3）點M是第一象限內拋物線上的一動點，問：點M在何處時△AMA'的面積最大？最大面積是多少？并求出此時M的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據旋轉的性質求出點A′的坐標，再用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）先證明△C′OD∽△BOA，由相似三角形的性質即可得出重疊部分△OC'D的周長；
（3）根據三角形面積求出，配方即可得到△AMA'的最大面積和M的坐標．
解答：解：（1）∵?ABOC繞點O順時針旋轉90°，得到?A'B'OC'，點A的坐標為（0，3），
∴點A′的坐標為（3，0）．
∵拋物線過點A、C、A′．
設拋物線的函數表達式為y=ax²+bx+c（a≠0），可得
，
解得．
故此拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．

（2）∵AB∥CO，∴∠OAB=90°，
∵AB=OC=1，AO=3．
∴OB=．
可證△C′OD∽△BOA，
△C′OD的周長與△BOA的周長比=OC′：OB=1：
△BOA的周長=4+，
△C′OD的周長=．

（3）連接A′A，OM，設M點的坐標為：（m，n），
∵點M在拋物線上，
∴n=-m²+2m+3，
∴S_△AMA′=S_△AMO+S_△OMA′-S_△AOA′
=OA•m+OA′•n-OA•OA′
=（m+n）-
=（m+n-3），
將n=-m²+2m+3代入，原式=-（m²-3m）=-（m-）²+，
∵0＜m＜3，
∵m=時，n=，△AMA'的面積最大S_△AMA'=，
∴M（，），△AMA'的面積最大S_△AMA'=．
點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、相似三角形的判定和性質等知識點，二次函數的最值問題，綜合性強，有一定的難度．