Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且OA=2，OB=8，OC=6．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點M從A點出發，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運動，同時，點N從B出發，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動，當△MBN存在時，求運動多少秒使△MBN的面積最大，最大面積是多少？

（3）在（2）的條件下，△MBN面積最大時，在BC上方的拋物線上是否存在點P，使△BPC的面積是△MBN面積的9倍？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）運動秒使△MBN的面積最大，最大面積是；（3）P（3， ）或（5， ）．

【解析】試題分析：（1）由線段的長度得出點A、B、C的坐標，然后把A、B、C三點的坐標分別代入，解方程組，即可得拋物線的解析式；

（2）設運動時間為t秒，則MB=6﹣3t，然后根據△BHN∽△BOC，求得NH=t，再利用三角形的面積公式列出S△MBN與t的函數關系式S△MBN=﹣（t﹣）2+，利用二次函數的圖象性質進行解答；

（3）利用待定系數法求得直線BC的解析式為．由二次函數圖象上點的坐標特征可設點P的坐標為（m， ）．過點P作PE∥y軸，交BC于點E．結合已知條件和（2）中的結果求得S△PBC=．則根據圖形得到S△PBC=S△CEP+S△BEP=EPm+EP（8﹣m），把相關線段的長度代入推知： =．

試題解析：解：（1）∵OA=2，OB=8，OC=6，∴根據函數圖象得A（﹣2，0），B（8，0），C（0，6），根據題意得： ，解得： ，∴拋物線的解析式為；

（2）設運動時間為t秒，則AM=3t，BN=t，∴MB=10﹣3t．由題意得，點C的坐標為（0，6）．在Rt△BOC中，BC==10．如圖，過點N作NH⊥AB于點H，∴NH∥CO，∴△BHN∽△BOC，∴，即，∴HN=t，∴S△MBN=MBHN=（10﹣3t）t==﹣（t﹣）2+，當△MBN存在時，0＜t＜2，∴當t=時，S△MBN最大=．

答：運動秒使△MBN的面積最大，最大面積是；

（3）設直線BC的解析式為y=kx+c（k≠0）．

把B（8，0），C（0，6）代入，得： ，解得： ，∴直線BC的解析式為 ．

∵點P在拋物線上，∴設點P的坐標為（m， ），如圖，過點P作PE∥y軸，交BC于點E，則E點的坐標為（m， ）．

∴EP=﹣（）=，當△MBN的面積最大時，S△PBC=9 S△MBN=，∴S△PBC=S△CEP+S△BEP=EPm+EP（8﹣m）=×8EP=4×（）=，即=．解得m1=3，m2=5，∴P（3， ）或（5， ）．