Question

如圖（1）己知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點A（-1，0）和點B（3，0），與y軸正半軸交于點C，且
cos∠CAB=

10

10

．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖（2），己知點H（0，1）．問在拋物線上是否存在點G，使得S_△GHC=S_△GHA？若存在，求出點G的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）如圖（3），拋物線上點D在x軸上的正投影為點E（2，0），F是OC的中點，連接DF，P為線段BD上的一點，若∠EPF=∠BDF，求線段PE的長．

Answer 1

分析：（1）由拋物線y=x²+bx+c與x軸交于點A（-1，0）和點B（3，0），求出與y軸交于點C，利用待定系數法即可求得二次函數的解析式；
（2）假設在拋物線上存在點G，設G（m，n），根據n的不同取值分類探討即可；
（3）利用待定系數法求得直線DF的解析式，即可證得△PBE∽△FDP，由相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案．

解答：解：（1）由點A（-1，0）和點B（3，0），與y軸正半軸交于點C，且cos∠CAB=

10

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；
求得點C（0，3），把三點代入y=ax²+bx+c
得

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=-1 b=2 c=3

，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3；

（2）假設在拋物線上存在點G，設G（m，n），顯然，當n=3時，△AGH不存在．
①當n＞3時，
可得S_△GHA=

m

2

-

n

2

+

1

2

，S_△GHC=m，
∵S_△GHC=S_△GHA，
∴m+n-1=0
由

-m2+2m+3=n m+n-1=0

，
解得：

m= 3+ 17 2 n= -1- 17 2

或

m= 3- 17 2 n= -1+ 17 2

∵點G在x=3的右側，
∴G（

3+ 17

2

，

-1- 17

2

）；
②當-4≤n＜-3時，
可得S_△GHA=-

m

2

-

n

2

-

1

2

，S_△GHC=-m，
∵S_△GHC=S_△GHA，
∴左m+n+1=0，
由

-m2+2m+3=n m+n+1=0

解得

m=4 n=-5

或

m=-1 n=0

∵點G在x=3左側，
∴G（-1，0）．
∴存在點G（

3+ 17

2

，

-1- 17

2

）；或G（-1，0）；

（3）如圖，

∵E（2，0），
∴D橫坐標為2，
∵點D在拋物線上，
∴D（2，3），
∵F是OC中點，
∴F（0，

3

2

），
∴直線DF解析式為：y=

3

4

x+

3

2

，
則它與x軸交于點手（-2，0），
則FE=FD=

5

2

，∠EPF=∠PDF，∠BPE+∠EPF+∠FPD=∠DFP+∠PDF+∠FPD=180°，
∵∠EPF=∠PDF，
∴∠BPE=∠DFP，
∴△PBE∽△FDP，
∴

PB

FD

=

BE

DP

∴PB•DP=

5

2

，
∵PB+DP=BD=

10

，
∴PB=

10

2

，
即P是BD中點，連接DE，
∴在Rt△DBE中，PE=

1

2

BD=

10

2

．

點評：此題綜合考查待定系數法求二次函數，相似三角形的判定與性質，三角形的面積等知識點，以及滲透分類討論思想．