Question

如圖所示，己知點P是x軸上一點，以P為圓心的⊙P分別與x軸、y軸交于點A、B和C、D，其中A（-3，0），B（1，0）．過點C作⊙P的切線交x軸于點E．
（1）求直線CE的解析式；
（2）求過A、B、C三點的拋物線解析式；
（3）第（2）問中的拋物線的頂點是否在直線CE上，請說明理由；
（4）點F是線段CE上一動點，點F的橫坐標為m，問m在什么范圍內時，直線FB與⊙P相交？

Answer 1

分析：（1）從A，B兩點的坐標，可知圓的半徑為2，那么PO=PB-OB=2-1=1，利用勾股定理可求得OC長，可求得∠CPO=60°連接PC后，利用∠CP0的余弦值可得到PE長．設出直線解析式，把C，E坐標代入即可；
（2）用交點式設出二次函數解析式，把C坐標代入即可；
（3）求得頂點坐標，把橫坐標代入直線解析式，看函數值是否等于縱坐標；
（4）應先找到相切時，m的值．注意此時m的取值在0和3之間．

解答：解：（1）連接PC，OC=

22-12

=

3

，
∵cos∠CPO=PO：PC=1：2
∴∠CPO=60°，
∴PE=4，
∴OE=3，
c（0，

3

），E（3，0）．
設直線CE的解析式為y=kx+b，
b=

3

，3k+b=0，
解得k=-

3

3

x，
∴y=-

3 x

3

+

3

．

（2）設拋物線解析式為y=a（x+3）（x-1）
∵點C（0，

3

）在圖象上，
代入得a=-

3

3

∴y=-

3

3

（x+3）（x-1）．

（3）拋物線頂點為（-1，

4 3

3

），
當x=-1時，代入直線CE解析式y=

4 3

3

，
故（2）中拋物線頂點在直線CE上．

（4）當FB與OE垂直時，FB切⊙P于B，此時m=1．
而點F在線段CE其他位置時，FB都與⊙P相交．
故0≤m≤3且m≠1．

點評：本題主要考查用待定系數法求函數解析式；
點在函數解析式上，點的橫縱坐標應適合這個解析式；
過圓上一點的直線與圓的位置關系只有相切和相交兩種．