Question

如圖，直線與y=2x雙曲線相交于點A、E，直線AB與雙曲線交于點B，與x軸、y軸分別交于點C、D，且B點橫坐標等于縱坐標的兩倍，直線EB交x軸于點F，
（1）求直線AB的解析式；
（2）求證：△COD∽△CBF．

Answer 1

解：（1）∵直線與y=2x雙曲線相交于點A、E，
∴，
解得：，，
∴A點坐標為：（-2，-4），E點坐標為：（2，4），
∵B點橫坐標等于縱坐標的兩倍，
∴設B點坐標為：（2x，x），
∴2x•x=8，
即x ²=4，
解得：x₁=2，x₂=-2（不合題意舍去），
∴B點坐標為：（4，2），
設直線AB的解析式為：y=ax+b，
故將A，B點坐標代入解析式得：
，
解得：，
故直線AB的解析式為：y=x-2；

（2）過點B作BM⊥OF于點M，
∵直線AB的解析式為：y=x-2，
∴y=0時，x=2，則圖象與x軸交于點C（2，0），進而得出圖象與y軸交于點（0，2），
∴DO=CO=2，
∴CD=2，
設直線EB的解析式為：y=cx+d，
將E，B點代入得：，
解得：，
故直線EB的解析式為：y=-x+6，
當y=0，則x=6，
故F點坐標為：（6，0），
則FC=4，
又∵B點坐標為：（4，2），CO=2，
∴MO=4，BM=2，
∴CM=2，MF=2，
∴BC=CF=2，
∵====，
∴△COD∽△CBF．
分析：（1）利用兩函數聯立求出A，E點的坐標，進而利用反比例函數解析式得出B點坐標，再利用待定系數法求一次函數解析式即可；
（2）首先求出EB的解析式，進而得出F點坐標，再得出OD，OC，CD，FC，BC，BF的長度進而利用三邊關系得出△COD∽△CBF．
點評：此題主要考查了反比例函數的綜合應用以及待定系數法求一次函數解析式以及相似三角形的判定等知識，根據待定系數法求出EB的函數解析式是解題關鍵．