Question

如圖，在直角坐標系中，一直線l經過點M(

3

，1)，與x軸，y軸分別交于A、B兩點，且MA=MB，則△ABO的內切圓⊙O₁的半徑r₁=

 

；若⊙O₂與
⊙O₁、l、y軸分別相切，⊙O₃與⊙O₂、l、y軸分別相切，…，按此規律，則
⊙O₂₀₁₀的半徑r₂₀₁₀=

 

．

Answer 1

分析：設圓O₁的半徑為R，根據M的坐標求出A、B的坐標，根據三角形的面積公式求出△AO₁O、△BOO₁、△ABO₁的面積，相加即可得出△ABO的面積，代入求出即可；同理求出半徑R₂，R₃，R₄，總結規律求出答案．

解答：解：設圓O₁的半徑為R，
∵M是AB的中點，
∴B（0，2），A（2

3

，0），
則S△OO1B=

1

2

×OB×R=R，
S△OO1A=

1

2

×AO×R=

3

R
S△ABO1=

1

2

×AB×R=

1

2

×

22+(2 3 )2

×R=2R
S_△ABO=

1

2

×2×2

3

=2

3

；
∵S_△ABO=S△BOO1+S△AOO1+S△ABO1=（3+

3

）R=2

3

，
∴R=

2 3

3+ 3

=

3

-1，
故答案為：

3

-1．
（2）連接BO₁，則BO₁過O₂，
連接O₁D，O₂E，
∵B（0，2），A（2

3

，0），
∴∠ABO=60°，
∵⊙O₁和AB、OB相切，
∴∠O₁BO=30°，
∴O₁B=2O₁D=2R₁，
∵O₁O₂=R₁+R₂，
∴O₂B=2R₁-（R₁+R₂），
則O₁D∥O₂E，
∴△BEO₂∽△BDO₁，
∴

O2E

O1D

=

O2B

O1B

，
∵O₂E=R₂，O₁D=R₁，
∴

R2

R1

=

2R1-(R1+R2)

2R1

，

解得：R₂=

R1

3

=

3 -1

3

，
同理R₃=

R2

3

=

3 -1

32

，
…
R₂₀₁₀=

3 -1

32009

，
故答案為：

3

-1，R₂₀₁₀=

3 -1

32009

，

點評：本題主要考查對三角形的內切圓與內心，三角形的面積等知識點的理解和掌握，能根據求出的結果得到規律是解此題的關鍵．