Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，BC=11cm，∠B的余切值為

3

4

．P、Q兩點同時從點B出發，沿著B→A→D→C→B方向勻速運動，點P的速度為每秒2cm，點Q的速度為每秒3cm，點P的運動時間為t秒，當點Q回到點B時，點P也隨即停止運動．
（1）求：AB的長．
（2）當線段PQ與梯形的對角線平行時，求：點P的運動時間．
（3）試探究：在點P的運動過程中，能否使直線PQ⊥直線AD？如果能，請求出點P的運動時間；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先作AH⊥BC，作DG⊥BC，由∠B的余切值為

3

4

，即可設AH=4x，則BH=3x，由勾股定理即可求得AB的值，然后由BC=11cm，可得方程3x+5x+3x=11，則可求得AB的長；
（2）分別從當點P在邊AB上，點Q在邊AD上，PQ∥BD時；當點P在邊AD上，點Q在邊DC上，PQ∥AC時；當點P在邊DC上，點Q在邊BC上，PQ∥BD時去分析，根據平行線分線段成比例定理，即可求得點P的運動時間；
（3）當點P在邊CD上、點Q在邊BC上時，PQ與AD能互相垂直，即可得

3t-15

15-2t

=

3

5

，解此方程即可求得答案．

解答：解：（1）作AH⊥BC，垂足為點H，作DG⊥BC，垂足為點G．
∵AD∥BC，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴GH=AD，
∵∠B的余切值為

3

4

，
∴設AH=4xcm，則BH=3xcm．（1分）
∴AB=5x．（1分）
根據題意，得3x+5x+3x=11．（1分）
解得x=1．（1分）
∴AB=5．（1分）

（2）（i）當點P在邊AB上，點Q在邊AD上，PQ∥BD時，
得2t=10-3t．（1分）
解得t=2．（1分）
（ii）當點P在邊AD上，點Q在邊DC上，PQ∥AC時，
得2t-5=15-3t．（1分）
解得t=4．（1分）
（iii）當點P在邊DC上，點Q在邊BC上，PQ∥BD時，
得

CP

CD

=

CQ

CB

，即

15-2t

5

=

3t-15

11

．（1分）
解得t=

240

37

．（1分）
綜上所述，當線段PQ與梯形的對角線平行時，點P運動的時間為2秒，4秒，

240

37

秒．

（3）能．（1分）
當點P在邊CD上、點Q在邊BC上時，PQ與AD能互相垂直．
此時

3t-15

15-2t

=

3

5

．（1分）
解得t=

40

7

，
即當點P的運動時間為

40

7

秒時，PQ⊥AD．（1分）

點評：此題考查了等腰梯形的性質，平行線的性質以及三角函數的性質等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想，方程思想與分類討論思想的應用，注意輔助線的作法．