Question

如圖，在邊長為1的等邊△OAB中，以邊AB為直徑作⊙D，以D為圓心似長為半徑作
圓O、C為半圓AB上不與A、B重合的一動點，射線AC交⊙O于點E，BC=a，AC=b，

（1）求證：AE=b+a；
（2）求a+b的最大值；
（3）若m是關(guān)于x的方程：x+ax=b+ab的一個根，求m的取值范圍．

Answer 1

（1）連接BE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠AOB=60°，即得∠AEB=30°，再根據(jù)圓周角定理可得∠ACB=∠BCE=90°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得BE=2a，CE=a，即可得到結(jié)果；(2) ；（3）或

解析試題分析：（1）連接BE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠AOB=60°，即得∠AEB=30°，再根據(jù)圓周角定理可得∠ACB=∠BCE=90°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得BE=2a，CE=a，即可得到結(jié)果；
（2）過點C作CH⊥AB于H，根據(jù)(a+b)²=a²+b²+2ab=1+2ab=1+2CH·AB=1+2CH≤1+2AD=2即可得到結(jié)果；
（3）由x+ax=b+ab可求得x=b或x=-(b+a)，分a=m=b與m=-(b+a)兩種情況分析即可.
（1）連接BE

∵△ABC為等邊三角形
∴∠AOB=60°
∴∠AEB=30°
∵AB為直徑
∴∠ACB=∠BCE=90°
∵BC=a
∴BE=2a
CE=a
∵AC=b     
∴AE=b+a；
（2）過點C作CH⊥AB于H

在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1
∴a²+b²=1
∴(a+b)²=a²+b²+2ab=1+2ab=1+2CH·AB=1+2CH≤1+2AD=2
∴a+b≤，故a+b的最大值為；
（3）x+ax=b+ab
∴x-b+ax-ab=0  
(x+b)(x-b)+ a(x-b)=0
(x-b)(x+b+a)=0
∴x=b或x=-(b+a)
當a=m=b時，m=b=AC<AB=1
∴0<m<1 
當m=-(b+a)時，由（1）知AE=-m
又AB<AE≤2AO=2
∴1<-m≤2
∴-2≤m<-1
∴m的取值范圍為或.
考點：圓的綜合題
點評：本題知識點較多，綜合性強，難度較大，一般是中考壓軸題，需要特別注意.