Question

觀察下列等式：
①

1

2 +1

=

2 -1

( 2 +1)( 2 -1)

=

2

-1；
②

1

3 + 2

=

3 - 2

( 3 + 2 )( 3 - 2 )

=

3

-

2

；
③

1

4 + 3

=

4 - 3

( 4 + 3 )( 4 - 3 )

=

4

-

3

；…
回答下列問題：
（1）利用你的觀察到的規律，化簡：

1

23 + 22

；
（2）計算：

1

1+ 2

+

2

2 + 3

+

1

3 +2

+…+

1

99 +10

．

Answer 1

分析：（1）根據已知的3個等式發現規律：

1

n+1 + n

=

n+1

-

n

，把n=22代入即可求解；
（2）先利用上題的規律將每一個分數化為兩個二次根式的差的形式，再計算即可．

解答：解：（1）

1

23 + 22

=

23

-

22

；

（2）計算：

1

1+ 2

+

2

2 + 3

+

1

3 +2

+…+

1

99 + 100

=

2

-1+

3

-

2

+2-

3

+…+

100

-

99

=

100

-1
=9．

點評：此題的關鍵是分母有理化，得出規律：

1

n+1 + n

=

n+1

-

n

是解題的關鍵．