Question

【題目】如圖①，四邊形是邊長為2的正方形，，四邊形是邊長為的正方形，點分別在邊上，此時，成立．

（1）當正方形繞點逆時針旋轉，如圖②，成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

（2）當正方形繞點逆時針旋轉（任意角）時，仍成立嗎？直接回答；

（3）連接，當正方形繞點逆時針旋轉時，是否存在∥，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）成立，證明見解析；（2）結論仍成立；（3）存在，

【解析】

（1）先利用正方形的性質和旋轉的性質證明≌，然后得出，再根據等量代換即可得出，則有；

（2）先利用正方形的性質和旋轉的性質證明≌，然后得出，再根據等量代換即可得出，則有；

（3）通過分析得出時，在同一直線上,根據AO,AF求，從而有,最后利用即可求解．

（1）結論，仍成立．

如圖1，延長交于交于點，

∵四邊形，ABCD都是正方形,

∴ ．

由旋轉可得，，

，

∴≌，

∴．

,

，

∴，

∴結論仍成立 ．

（2）若正方形繞點逆時針旋轉時，如圖，結論仍然成立，理由如下：

如圖2，延長交于交于點，

∵四邊形，ABCD都是正方形,

∴ ．

由旋轉可得，，

，

∴≌，

∴．

,

，

∴，

∴結論仍成立 ．

當旋轉其他角度時同理可證 ，所以結論仍成立．

（3）存在

如圖3，連接，與相交于，

∵，當∥時，，

又∵，

∴在同一直線上．

∵四邊形ABCD，AEGF是正方形，

∴ ．

∵，

∴ ．

∵,

，

，

∴，

即當時，∥成立．