Question

如圖，分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD，等邊△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足為F，連接DF．
（1）試說明AC=EF；
（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因為△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可證明△AFE≌△BCA，再根據全等三角形的性質即可證明AC=EF；
（2）根據（1）知道EF=AC，而△ACD是等邊三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根據平行四邊形的判定定理即可證明四邊形ADFE是平行四邊形．
解答：證明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等邊三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF
∴AF=CB，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
，
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC=EF；

（2）由（1）知道AC=EF，
而△ACD是等邊三角形，
∴∠DAC=60°
∴EF=AC=AD，且AD⊥AB，
而EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∴四邊形ADFE是平行四邊形．
點評：此題是首先利用等邊三角形的性質證明全等三角形，然后利用全等三角形的性質和等邊三角形的性質證明平行四邊形．