Question

24、如圖，點P是正方形ABCD對角線AC上一動點，點E在射線BC上，且PB=PE，連接PD，O為AC中點．
（1）如圖1，當點P在線段AO上時，試猜想PE與PD的數量關系和位置關系，不用說明理由；
（2）如圖2，當點P在線段OC上時，（1）中的猜想還成立嗎？請說明理由；
（3）如圖3，當點P在AC的延長線上時，請你在圖3中畫出相應的圖形（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法），并判斷（1）中的猜想是否成立？若成立，請直接寫出結論；若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據點P在線段AO上時，利用三角形的全等判定可以得出PE⊥PD，PE=PD；
（2）利用三角形全等得出，BP=PD，由PB=PE，得出PE=PD，要證PE⊥PD；從三方面分析，當點E在線段BC上（E與B、C不重合）時，當點E與點C重合時，點P恰好在AC中點處，當點E在BC的延長線上時，分別分析即可得出；
（3）利用PE=PB得出P點在BE的垂直平分線上，利用垂直平分線的性質只要以P為圓心，PB為半徑畫弧即可得出E點位置，利用（2）中證明思路即可得出答案．

解答：解：（1）當點P在線段AO上時，
PE與PD的數量關系和位置關系分別為：PE=PD，PE⊥PD；

（2）∵四邊形ABCD是正方形，AC為對角線，
∴BA=DA，∠BAP=∠DAP=45°，
∵PA=PA，
∴△BAP≌△DAP（SAS），
∴PB=PD，
又∵PB=PE，
∴PE=PD．
（i）當點E在線段BC上（E與B、C不重合）時，
∵PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB，
∴∠PEB=∠PDC，
而∠PEB+∠PEC=180°，
∴∠PDC+∠PEC=180°，
∴∠DPE=360°-（∠BCD+∠PDC+∠PEC）=90°，
∴PE⊥PD．
（ii）當點E與點C重合時，點P恰好在AC中點處，此時，PE⊥PD．
（iii）當點E在BC的延長線上時，如圖．
∵∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，
∴∠DPE=∠DCE=90°，
∴PE⊥PD．
綜合（i）（ii）（iii），PE⊥PD；

（3）同理即可得出：PE⊥PD，PD=PE．

點評：此題主要考查了正方形的性質以及全等三角形的判定與性質和尺規作圖等知識，此題涉及到分類討論思想，這是數學中常用思想同學們應有意識的應用．