Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB=DC，E、F分別是AD、BC的中點，G、H分別是對角線BD、AC的中點．
（1）求證：四邊形EGFH是菱形；
（2）若AB=1，則當∠ABC+∠DCB=90°時，求四邊形EGFH的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用三角形的中位線定理可以證得四邊形EGFH的四邊相等，即可證得；
（2）根據平行線的性質可以證得∠GFH=90°，得到菱形EGFH是正方形，利用三角形的中位線定理求得GE的長，則正方形的面積可以求得．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AD、BC、BD、AC的中點，
∴FG=CD，HE=CD，FH=AB，GE=AB．
∵AB=CD，
∴FG=FH=HE=EG．
∴四邊形EGFH是菱形．

（2）解：∵四邊形ABCD中，G、F、H分別是BD、BC、AC的中點，
∴GF∥DC，HF∥AB．
∴∠GFB=∠DCB，∠HFC=∠ABC．
∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°．
∴∠GFH=90°．
∴菱形EGFH是正方形．
∵AB=1，
∴EG=AB=．
∴正方形EGFH的面積=（）²=．
點評：本題考查了三角形的中位線定理，菱形的判定以及正方形的判定，理解三角形的中位線定理是關鍵．