Question

如果對于區間I 內的任意x，都有f（x）＞g（x），則稱在區間I 上函數y=f（x）的圖象位于函數y=g（x）圖象的上方．
（1）已知a＞b＞1，求證：在（1，+∞）上，函數y=log_bx的圖象位于y=log_ax的圖象的上方；
（2）若在區間[

1

2

， 2]上，函數f（x）=4^x+m的圖象位于函數g（x）=2^x+1-3x圖象的上方，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）即證log_bx＞log_ax對x∈（1，+∞）恒成立，根據a＞b＞1，且x∈（1，+∞）利用對數的單調性判斷出0＜log_xb＜log_xa，再利用換底公式即可得到證明的結論；
（2）根據題意，轉化為f（x）＞g（x）對x∈[

1

2

， 2]恒成立，利用參變量分離的方法，轉化為求函數的最值，解之即可求出實數m的取值范圍．

解答：解：（1）∵x∈（1，+∞），
∴y=log_xt是單調遞增函數，
∵a＞b＞1，
∴0＜log_xb＜log_xa，
∴

1

logxb

＞

1

logxa

，再根據換底公式，
∴log_bx＞log_ax，
∴在（1，+∞）上，函數y=log_bx的圖象位于y=log_ax的圖象的上方．
（2）∵在區間[

1

2

， 2]上，函數f（x）=4^x+m的圖象位于函數g（x）=2^x+1-3x圖象的上方，
∴4^x+m＞2^x+1-3x對任意x∈[

1

2

，2]恒成立，
∴m＞-4^x+2•2^x-3x在[

1

2

，2]上恒成立，即m＞[-4^x+2•2^x-3x]_max，
令t=2^x，
∵x∈[

1

2

，2]，則

2

≤t≤4，
∴y=-4^x+2•2^x-3x=-t²+2t-3log₂t，
記h（t）=-t²+2t-3log₂t，
∵y=-t²+2t在[

2

， 4]上是減函數，y=-3log₂t在[

2

， 4]上也是減函數，
∴函數h（t）=-t²+2t-3log₂t在[

2

， 4]上是減函數，
∴h（t）在[

2

， 4]的最大值為h(

2

)=-2+2

2

-3log2

2

=2

2

-

7

2

，
∴m＞[-4^x+2•2^x-3x]_max=2

2

-

7

2

，
∴實數m的取值范圍象是m＞2

2

-

7

2

．

點評：本題考查了函數的恒成立問題，以及對數的性質和運算，涉及了對數的換底公式．對于函數的恒成立問題，一般會選用參變量分離的方法進行處理，再分離時有時要注意是否進行分類討論，然后轉化為求函數的最值問題．本題是應用函數的單調性求解最值．屬于中檔題．