Question

（2013•虹口區二模）定義域為D的函數f（x），如果對于區間I內（I⊆D）的任意兩個數x₁、x₂都有f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]成立，則稱此函數在區間I上是“凸函數”．
（1）判斷函數f（x）=lgx在R⁺上是否是“凸函數”，并證明你的結論；
（2）如果函數f(x)=x2+

a

x

在

1，2

上是“凸函數”，求實數a的取值范圍；
（3）對于區間

c，d

上的“凸函數”f（x），在

c，d

上任取x₁，x₂，x₃，…，x_n．
①證明：當n=2^k（k∈N^*）時，f(

x1+x2+…+xn

n

)≥

1

n

[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]成立；
②請再選一個與①不同的且大于1的整數n，
證明：f(

x1+x2+…+xn

n

)≥

1

n

[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]也成立．

Answer 1

分析：（1）利用作差法證明，即要證：f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]，只要證f(

x1+x2

2

)-

1

2

[f(x1)+f(x2)]≥0即可；
（2）首先根據“凸函數”的定義得出不等關系式，再進行分離常數a，然后問題就轉化為函數求最值的問題，求最值時利用基本不等式法，即可得到a的范圍；
（3）①直接利用數學歸納法的證明步驟證明不等式，驗證k=1時不等式成立；（2）假設當k=m（m∈N^*）時成立，利用放縮法證明k=m+1時，不等式也成立．②比如證明n=3不等式成立．

解答：解：（1）設x₁，x₂是R⁺上的任意兩個數，則f(x1)+f(x2)-2f(

x1+x2

2

)=lgx1+lgx2-2lg

x1+x2

2

=lg

4x1x2

(x1+x2)2

≤lg1=0∴f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]．
∴函數f（x）=lgx在R⁺上是“凸函數”．…（4分）
（2）對于

1，&2

上的任意兩個數x₁，x₂，均有f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]成立，
即(

x1+x2

2

)2+

a

x1+x2 2

≥

1

2

[(

x

2 1

+

a

x1

)+(

x

2 2

+

a

x2

)]，
整理得(x1-x2)2a≤-

1

2

(x1-x2)2x1x2(x1+x2)…（7分）
若x₁=x₂，a可以取任意值．
若x₁≠x₂，得a≤-

1

2

x1x2(x1+x2)，
∵-8＜-

1

2

x1x2(x1+x2)＜-1，∴a≤-8．
綜上所述得a≤-8．…（10分）
（3）①當k=1時由已知得f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]成立．
假設當k=m（m∈N^*）時，不等式成立即f(

x1+x2+…+x2k

2m+1

)≥

1

2m

[f(x1)+f(x2)+…+f(x2m)]成立．
那么，由c≤

x1+x2+…+x2m

2m

≤d，c≤

x2m+1+x2m+2+…+x2m+2m

2m

≤d
得f(

x1+x2+…+x2m+1

2m+1

)=f{

1

2

[

x1+x2+…+x2m

2m

+

x2m+1+x2m+2+…+x2m+2m

2m

]}≥

1

2

[f(

x1+x2+…+x2m

2m

)+f(

x2m+1+x2m+2+…+x2m+2m

2m

)]≥

1

2

{

1

2m

[f(x1)+f(x2)+…+f(x2m)]+

1

2m

[f(x2m+1)+f(x2m+2)+…+f(x2m+1)]}=

1

2m+1

[f(x1)+f(x2)+…+f(x2m+1)]．
即k=m+1時，不等式也成立．根據數學歸納法原理不等式得證．…（15分）
②比如證明n=3不等式成立．由①知c≤x₁≤d，c≤x₂≤d，c≤x₃≤d，c≤x₄≤d，
有f(

x1+x2+x3+x4

4

)≥

1

4

[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]成立．
∵c≤x₁≤d，c≤x₂≤d，c≤x₃≤d，c≤

1

3

(x1+x2+x3)≤d，
∴f(

x1+x2+x3

3

)=f(

x1+x2+x3 3 +x1+x2+x3

4

)≥

1

4

[f(

x1+x2+x3

3

)+f(x1)+f(x2)+f(x4)]，
從而得f(

x1+x2+x3

3

)≥

1

3

[f(x1)+f(x2)+f(x3)]．…（18分）

點評：本題給出了數學新定義凸函數，在判斷一個函數是凸函數要根據定義，方法是“作差法”，本題的第一問與第二問緊密聯系解題是要抓住這一點．難點在第三問，怎樣根據數學歸納法原理證明不等式．